Формула для знаходження довільного члена

Як було пояснено вище, розглянутий вид прогресії однозначно визначається її першим елементом і різницею, однак це правило поширюється на будь-які інші величини. Наприклад, знання двох довільних елементів або одного елемента і суми деякого числа членів також однозначно визначає прогресію.

Для обчислення n-го елемента можна з успіхом користуватися наступною формулою:

an = a1 + (n – 1) * d

Очевидність справедливості цього вислову не викликає сумніву, і його може перевірити кожен, підставляючи малі значення n.

Формула для відновлення прогресії по двом відомим елементів

У шкільному курсі алгебри такі завдання є типовими на прогресію: відомо два елемента an am, причому n > m, необхідно на них побудувати всю прогресію.

Вирішується ця проблема з використанням формули для n-го члена. Випишемо два відповідних виразу:

an = a1 + (n – 1) * d;

am = a1 + (m – 1) * d

Знайдемо різницю між першим і другим (знак рівності при цьому зберігається):

an – am = (n – m) * d =>

d = (an – am) / (n – m)

Ми бачимо, як легко можна знайти різниця прогресії, якщо відомі два її члена: для цього необхідно з більшого порядку відняти меншу, а потім одержану різницю поділити на різницю їх порядкових номерів.

Як тільки знайдена різниця, обчислити перший член не представить жодної праці (для цього слід скористатися будь-яким з двох перших виразів).