Століття XVII був ознаменований бурхливим розвитком в Європі спеціального розділу фізики – оптики. Були відкриті для світу закони відбивання і заломлення, а принцип Ферма показав, чому вони мають відповідний математичний вигляд. Розберемося детальніше, що являє собою цей принцип.
Явища заломлення і віддзеркалення
Під відображенням розуміють явище, при якому світло, поширюючись в прозорому для нього речовині, зустрічає на своєму шляху перешкоду і різко змінює свою траєкторію. Перешкодою може бути будь-який: рідке або тверде тіло, прозоре і непрозоре.
Явище відбиття було відомо з глибокої давнини. Згідно з історичними свідченнями, закони відбивання вже були сформульовані ще до нашої ери. А в першому столітті нашої ери єгипетський Герон Александрійський філософ висловив ідею про траєкторії світла, яку згодом використав француз П’єр Ферма при формулюванні свого принципу.
Явище заломлення полягає у зламі прямій лінії, по якій рухається світ, при перетині ним поверхні, що розділяє два прозорих матеріалу. Зауважимо, що в разі відображення промінь рухається в одному прозорому матеріалі або, як прийнято говорити, в одному середовищі.
Перша формулювання законів заломлення приписується перського математику X століття, якомусь Ибну Сахлю, який у своїх роботах спирався на праці Клавдія Птолемея (I-II століття н. е..). На рубежі кінця XVI – початку XVII століть голландський вчений Снелл, узагальнивши результати багатьох експериментів зі світлом, сформулював в математичному вигляді 2-й закон заломлення, який в даний час носить його прізвище. Снелл свою формулювання привів в термінах відстаней, а не кутів, як це прийнято зараз. Сучасний вигляд законом заломлення надав вже Рене Декарт.
Закони поширення світла в прозорих середовищах
Перед тим як переходити до розгляду принципу Ферма, закони заломлення та відбиття світла слід сформулювати. Для кожного з цих явищ прийнято виділяти два закону. Нижче вони попарно об’єднані:
- для відображення: θ1 = θ2;
- для переломлення: n1*sin(θ1) = n2*sin(θ3).
В цих формулах n1 і n2 – це показники заломлення в прозорих середовищах 1 і 2. Показник заломлення, згідно з визначенням, обчислюється так:
n = c/v.
Тут v і c – швидкість руху променя світла в середовищі та вакуумі.
Формулювання принципу Ферма
П’єр Ферма був одним з відомих математиків і юристів Франції в першій половині XVII століття. Принцип, який носить його прізвище, він сформулював у 1662 році, тобто через півстоліття після відкриття Снеллом свого закону для заломлення.
Коротко принцип Ферма може бути сформульований так: світло при русі в абсолютно будь-яких прозорих середовищах вибирає таку траєкторію, яку він пройде за найменший час.
По суті, ця формулювання нічим не відрізняється від тієї, що зробив Герон Олександрійський півтори тисячі років раніше для відображення явища. Тим не менш француз зробив її спільною для всіх явищ, пов’язаних зі світлом, і показав, як з цього принципу можуть бути отримані закони відбиття і заломлення.
Висновок 1-го закону відбиття
Користуючись принципом Ферма, закони відбивання отримаємо математично. Для цього розглянемо малюнок нижче.
Тут показано, що промінь виходить з точки S, яка лежить на осі y. Потім він відбивається від площини xz у деякої невідомої точці M. Після відображення промінь рухається до точки P, що лежить на площині xy. Вибране положення точок S та P не впливає на спільність подальших міркувань, а лише спрощує математичні викладки.
Отже, запишемо координати кожної точки:
S (0; yS; 0);
M (x; 0; z);
P (xP; yP; 0).
Координати положення точок S та P відомі. Завдання полягає в тому, щоб знайти таку точку M, яка буде відповідати реальної траєкторії SMP, пройденої світловим променем. Також будемо вважати, що цей простір є однорідним, тобто швидкість світла у будь-якій точці є постійною величиною.
Відповідно до принципу Ферма, траєкторію SMP світло пройде за найменший час, якщо вона буде найбільш короткій з усіх можливих. Запишемо її довжину:
SM = √(x2 + yS2 + z2); MP = √((x-xP)2+yP2+z2);
SMP = √(x2 + yS2 + z2) + √((x-xP)2+yP2+z2).
Щоб обчислити мінімальну довжину SMP, необхідно знайти приватні похідні по x і z (невідомі координати точки M) і прирівняти до нуля отримані результати.
Спочатку знайдемо приватну похідну по z. Маємо:
∂(SMP)/∂z = z/√(x2 + yS2 + z2) + z/√((x-xP)2+yP2+z2) = 0.
Це рівняння має єдиний корінь, коли z = 0. Іншими словами, точка M лежить на осі x, тобто в тій же площині, що і точки P і S (площина xy). Звідки випливає, що відновлена нормаль до площини xz, в якій, за умовою задачі, знаходиться точка M, буде лежати разом з SM і MP в одній площині (xy). Це і є 1-й закон відображення.
Висновок 2-го закону відбиття
Продовжимо робити обчислення попереднього пункту. Як було сказано, тепер необхідно знайти приватну похідну за x. Маємо:
∂(SMP)/∂x = x/√(x2 + yS2 + z2) + (x-xP)/√((x-xP)2+yP2+z2) = 0.
Останнє рівність запишемо у вигляді:
x/SM + (x-xP)/MP = 0 =>
x/SM = (xP-x)/MP.
Отримані відносини в кожній частині рівності – це синуси кутів з вершиною в точках S і P. Якщо відновити тепер нормаль до площини xz через точку M, то зазначені кути будуть відповідати кутах падіння (між SM і нормаллю) і відображення (між MP і нормаллю).
Таким чином, дотримуючись принципу Ферма, ми отримали також 2-й закон відбивання світла.
Висновок закону заломлення Снелла
Тепер покажемо, як можна вивести з принципу Ферма закон заломлення світла. Для цього розглянемо малюнок, схожий на попередній.
Для простоти будемо розглядати випадок в площині xy. Випишемо координати джерела S і приймача P світла, які знаходяться в різних середовищах:
S(xS; yS);
M(x; 0);
P(xP; yP).
Знайдемо невідому координату точки M. Координата y=0 для неї точно відома, оскільки саме на межі середовищ (вісь x) змінюється швидкість поширення світла. Довжини відрізків SM і MP рівні:
SM = √(x-xS)2 + yS2);
MP = √(xP-x )2 + yP2).
Загальний час, який витратить світло на проходження траєкторії SMP, буде дорівнює:
t = SM/v1 + MP/v2.
Тут v1, v2 – швидкості світла у відповідних середовищах. Щоб знайти мінімальний час руху, слід взяти повну похідну за змінною x і прирівняти її до нуля. Отримуємо:
dt/dx = (x-xS)/(√(x-xS)2 + yS2)*v1) – (xP-x)/(√(xP-x)2 + yP2)*v2) = 0 =>
(x-xS)/(SM*v1) = (xP-x)/(MP*v2).
Використовуючи функції синусів кута падіння θ1 і заломлення θ3, отримуємо:
sin(θ1)/v1 = sin(θ3)/v2.
Щоб привести отримане рівність до закону Снелла в зручному вигляді (через показники заломлення середовищ), необхідно помножити ліву і праву частини на швидкість світла c.
Таким чином, застосування принципу Ферма дозволяє легко вивести закони для основних явищ руху світлового променя в прозорих матеріалах.
Рух світла в гетерогенному середовищі
Розглянуті вище випадки припускають, що матеріал є гомогенним, і світловий промінь при русі в ньому швидкість свою зберігає. У разі ж негомогенних середовищ справедливо рівність:
L = ∫n(x,y,z)*dl.
Цей інтеграл береться вздовж траєкторії проходження світла. Диференціал dl – це відрізок шляху, для якого середа зберігає свою однорідність. Величина n(x,y,z) – це локальний показник заломлення.
Зазначений інтеграл прийнято називати інтегралом оптичного шляху. Принцип Ферма для оптичного шляху припускає знаходження екстремумів для L.
Узагальнена формулювання розглянутого принципу
Принцип мінімального часу для руху світла є приватним для більш загального формулювання. В даний час узагальнений принцип Ферма формулюють так: світло вибирає під час руху таку траєкторію, яка відповідає екстремумам оптичного шляху.
Екстремумами функції, згідно математичного визначенням, є мінімум, максимум і точка перегину. Загальний принцип Ферма задовольняє всім цим значенням, тобто траєкторія світла не обов’язково буде мінімальною, вона може бути і максимальної, і відповідає точці перегину оптичного шляху.
Побутова аналогія з розглянутим принципом
Загальний принцип Ферма, в свою чергу, є окремим випадком так званого принципу найменшої дії. Тут не будемо приводити відповідні визначення та їх математичні формулювання, проте покажемо, де можна застосувати запропонований французом принцип.
Використовується він при рішенні простий, на перший погляд, побутової завдання: припустимо, поблизу пляжу в морі тоне людина. Як повинен рухатися рятувальник, що знаходиться на березі, щоб врятувати потопаючого? Звичайно ж, він повинен прийти на допомогу за найменший час. Оскільки швидкість руху рятувальника по пляжу більше, ніж по воді, йому слід пробігти певну відстань по березі, а лише потім стрибнути у воду й попливти. Тобто задача зводиться до застосування принципу Ферма, де роль світлового променя грає рятувальник.
Відзначимо, що рішення цієї задачі не є простим, оскільки в його процесі з’являються рівняння 4-го ступеня.
Таким чином, принцип Ферма – це інструмент отримання основних законів поширення світла. Проте він не є фундаментальною. Можна сказати, що він випливає з принципу Гюйгенса про джерела вторинних сферичних хвиль.
