Момент інерції щодо осі обертання, що перетинає центр мас стержня

Розглянемо приклад використання інтегральної формули для вирішення реальних завдань. Насамперед вирішимо просту проблему: є тонкий стрижень довжиною l і масою m. Обертання осі проходить перпендикулярно цього стрижня через центр маси об’єкта. Необхідно визначити величину I для цієї системи.

Випишемо загальну формулу для моменту інерції стержня відносно осі, маємо:

I = ∫m(r2*dm)

Оскільки вісь перпендикулярна розглядуваного тіла, і сам стрижень має нескінченно малу товщину, то можна подумки розрізати його на тонкі шари площинами, паралельними осі. У такому разі отримуємо, що елемент масою dm може бути представлений наступним рівністю:

dm = ρ*S*dr

Тут ρ – щільність матеріалу, S – поперечний переріз, яке є постійною величиною і прагне до нуля (стрижень нескінченно тонкий). Підставимо це вираження в загальну формулу:

I = ρ*S*∫+l/2-l/2(r2*dr)

Зауважимо, що зразкові межі інтегрування по r відповідають умові задачі (вісь ділить стрижень на дві рівні частини). Виконуючи інтегрування, отримуємо:

I = ρ*S*(r3/3)|+l/2-l/2 = m*l2/12, де m = ρ*S*l

Таким чином, момент інерції тонкого стрижня, коли вісь проходить через центр мас, в 12 разів менше такого для матеріальної точки тієї ж маси, що знаходиться на відстані l від осі.