Знання властивостей геометричних фігур дозволяє не тільки вирішувати теоретичні завдання, а також виконувати різні практично важливі розрахунки. Однією з таких фігур, властивості якої будуть розглянуті в цій статті, є конус. Що таке конус, які види його бувають, як знайти його площу і об’єм? Нижче докладно висвітлюються всі ці питання.

Загальне визначення конуса в геометрії

Стереометрія, яка займається вивченням характеристик фігур в тривимірному просторі, пропонує наступний відповідь на питання, що таке конус: це фігура, поверхня якої утворена сукупністю прямих відрізків, що з’єднують деяку точку простору з визначеної кривої на площині.

Зазначена точка простору називається вершиною конуса, прямі відрізки – це генератрисы фігури або її утворюють, а сама крива на площині – це директриса (напрямна).

Під назване визначення підходить цілий клас фігур, найвідомішими з яких є круглий, еліптичний, параболічного та гіперболічного конуси. Еліптична фігура показана нижче на малюнку.

Директриса цього конуса являє собою замкнутий еліпс, який обмежує основа фігури. Генератрисы будь-якого конуса всі разом утворюють конічну поверхню, яка називається боковою. Ці дві поверхні (підстава і бічна) обмежують просторовий обсяг, який прийнято називати обсягом конуса.

Круглий прямий конус – фігура обертання

Еліптичний циліндр, зображений на малюнку вище, не можна отримати в результаті обертання будь-якої плоскої фігури. Єдиним представником класу конусів, який можна утворити обертанням, є круглий прямий конус. Ця фігура показана нижче.

Видно, що її основу становить ідеальний коло. Більш того, будь-який перетин бічній поверхні площиною, паралельною до основи, також буде кругом, але з меншим діаметром, ніж фігура в підставі.

Оранжевий трикутник ABC, виділений всередині конуса, є прямокутним. Видно, що його катет AC є радіусом основи r. Катет AB – це висота фігури h. З побудови зрозуміло, що висота є довжиною перпендикуляра, проведеного з вершини фігури B до площини підстави (кола). Ця висота перетинає коло в його центрі. Останнє означає, що конус є прямим. Нарешті, гіпотенуза трикутника BC є не чим іншим, як генератрисой конуса.

Щоб з допомогою описаного трикутника утворити конус, необхідно обертати його навколо сторони AB.

Для наочного представлення різниці між прямим і похилим конусами наведемо відповідний малюнок.

Відмінність між двома фігурами очевидно: якщо їх підстави є однаковими, то опущені з вершини висоти перетинають заснування в різних точках. Перша фігура є прямою, друга – похилої.

Лінійні параметри круглого прямого конуса і кут при основі

Вище вже були позначені ці параметри. Перерахуємо їх знову:

• радіус r;
• висота h;
• генератриса g.

Для однозначного завдання конуса ці три параметри є надлишковими, тобто розглянуту фігуру можна побудувати і розрахувати всі її властивості, знаючи тільки два з трьох названих параметрів. Залучаючи розглянуту схему отримання конуса з допомогою обертання прямокутного трикутника, можна записати наступне співвідношення між генератрисой, радіусом і висотою конуса:

g = √(r2 + h2).

Ця рівність є очевидним і не потребує доведення (слід згадати про теорему Піфагора).

Задати конус можна не тільки за допомогою прямих відрізків r, h і g, а також використовуючи кутову міру між будь генератрис фігури і площиною основи. Позначимо цей кут буквою φ. Користуючись означенням тригонометричних функцій, можна записати ряд формул, у яких кут φ пов’язує лінійні параметри. Запишемо основні з них:

g = h/sin(φ);

g = r/cos(φ);

h = r*tg(φ).

Площа поверхні фігури

Розглядаючи питання, що таке конус, наведемо формулу, що дозволяє визначити площу його повної поверхні. Щоб зрозуміліше було, про що піде мова, наведемо розгортку на площину розглянутої фігури.

Розгортка конуса на площині являє собою дві фігури. Коло – це основа конуса, круговий сектор радіусом g – це бічна поверхня. Круговий сектор легко отримати, якщо взяти паперову конічну поверхню і розрізати її вздовж будь генератрисы g. Розгорнувши цю поверхню, ми отримаємо шуканий сектор.

Визначення площі So кола не представляє проблем. Відповідний вираз наведено нижче:

So = pi*r2.

Що стосується кругового сектора, то необхідні параметри для розрахунку площі Sb також відомі: радіус g і довжина дуги, що відповідає довжині кола розглянутого вище кола. Формула для обчислення площі бічної поверхні конуса Sb має вигляд:

Sb = pi*r*g.

Таким чином, загальна площа фігури дорівнює:

S = So + Sb = pi*r*(r+g).

Формула для обсягу

Знаючи, що таке конус круглий прямий, неважко записати формулу для його обсягу. Оскільки розглянуту фігуру можна вважати пірамідою з нескінченним числом бічних ребер, то для неї, як для будь-якої піраміди, обсяг можна обчислити за формулою:

V = 1/3*So*h.

Значення площі So ми вже наводили вище, тому шуканої формули для об’єму прямого конуса з круглою основою буде наступна:

V = 1/3*pi*r2 *h.

Рішення геометричної задачі

Відомо, що значення площі поверхні конуса круглого прямого одно 300 см2. Необхідно визначити радіус конуса, знаючи, що його генератриса дорівнює 15 див.

Запишемо рівність для площі і підставимо значення g = 15 см і S = 300 см2, отримаємо:

S = pi*r*(r+g) =>

300 = pi*r2 + 15*pi*r.

Розділимо ліву і праву частини на число pi, отримаємо квадратне рівняння:

r2 + 15*r – 95,54 = 0.

Розв’язуємо це рівняння через дискриминант, отримуємо:

D = 152 – 4*(-95,54) = 607,16;

r = (-15±√D)/2 = (4,82; -19.82).

Негативний корінь не відповідає умові задачі, тому можна записати відповідь: заданий конус має радіус 4,82 див.