В просторової геометрії при розв’язуванні задач з призмами часто виникає проблема з розрахунком площі сторін або граней, які утворюють ці об’ємні фігури. Дана стаття присвячена питанню визначення площі основи призми та її бічній поверхні.

Фігура призма

Перед тим як переходити до розгляду формули для площі основи і поверхні призми того чи іншого виду, слід розібратися, про яку фігуру йде мова.

Призма в геометрії являє собою просторову фігуру, що складається з двох паралельних багатокутників, які рівні між собою, і кількох чотирикутників або паралелограмів. Кількість останніх завжди дорівнює числу вершин одного многокутника. Наприклад, якщо фігура утворена двома паралельними n-косинцями, тоді кількість паралелограмів буде дорівнює n.

З’єднують n-кутники паралелограми називаються бічними сторонами призми, а їх сумарна площа – це площа бічної поверхні фігури. Самі ж n-кутники називаються підставами.

Вище малюнок демонструє приклад призми, виготовленої з паперу. Жовтий прямокутник є її верхнім підставою. На другому такому ж підставі фігура стоїть. Червоний і зелений прямокутник – це бічні грані.

Які призми бувають?

Існує кілька типів призм. Всі вони відрізняються один від одного лише двома параметрами:

• видом n-кутника, що утворює підстави;
• кутом між n-кутником і бічними гранями.

Наприклад, якщо підстави є трикутниками, тоді і призма називається трикутною, якщо чотирикутниками, як на попередньому малюнку, тоді фігура називається чотирикутної призмою, і так далі. Крім цього, n-кутник може бути опуклим або увігнутим, тоді до назви призми теж додається цю властивість.

Кут між бічними гранями і підставою може бути або прямий, або гострий або тупий. У першому випадку говорять про прямокутної призми, у другому – про похилій або косокутної.

В особливий тип фігур виділяють правильні призми. Вони володіють найбільш високою симетрією серед інших призм. Правильної вона буде тільки в тому випадку, якщо є прямокутної і її підстава – це правильний n-кутник. Малюнок нижче демонструє набір правильних призм, у яких число сторін n-кутника змінюється від трьох до восьми.

Поверхня призми

Під поверхнею розглянутої фігури довільного типу розуміють сукупність всіх точок, які належать гранях призми. Поверхня призми зручно вивчати, розглядаючи її розгортку. Нижче наведен приклад такої розгортки для трикутної призми.

Видно, що вся поверхня утворена двома трикутниками і трьома прямокутниками.

У разі призми загального типу її поверхня буде складатися з двох n-вугільних підстав і n чотирикутників.

Розглянемо детальніше питання обчислення площі поверхні призм різних типів.

Площа основи правильної призми

Мабуть, найпростішим завданням при роботі з призмами є проблема знаходження площі основи правильної фігури. Оскільки воно утворене n-кутником, у якого всі кути і довжини сторін є однаковими, то завжди можна поділити його на однакові трикутники, у яких відомі кути і сторони. Сумарна площа трикутників буде площею n-кутника.

Ще один спосіб визначити частину площі поверхні призми (підстава) полягає у використанні відомої формули. Вона має наступний вигляд:

Sn = n/4*a2*ctg(pi/n)

Тобто площа Sn n-кутника однозначно визначається виходячи із знання довжини його сторони a. Деяку складність при розрахунку за формулою може скласти обчислення котангенса, особливо коли n>4 (для n≤4 значення котангенса – це табличні дані). Для визначення цієї тригонометричної функції рекомендується скористатися калькулятором.

При постановці геометричної задачі слід бути уважним, оскільки може знадобитися знайти площу підстав призми. Тоді отримане за формулою значення треба помножити на два.

Площа основи трикутної призми

На прикладі трикутної призми розглянемо, як можна знайти площу основи цієї фігури.

Спочатку розглянемо простий випадок – правильну призму. Площа підстави обчислюється за наведеною в пункті вище формулою, потрібно підставити в неї n=3. Отримуємо:

S3 = 3/4*a2*ctg(pi/3) = 3/4*a2*1/√3 = √3/4*a2

Залишається підставити у вираз конкретні значення довжини сторони a рівностороннього трикутника, щоб отримати площа однієї підстави.

Тепер припустимо, що є призма, основу якої являє собою довільний трикутник. Відомі дві його сторони a і b і кут між ними α. Ця фігура зображена нижче.

Як в цьому випадку знайти площу основи трикутної призми? Необхідно згадати, що площа будь-якого трикутника дорівнює половині добутку боку і висоти, опущеної на цю сторону. На малюнку проведена висота h стороні b. Довжина h відповідає добутку синуса кута альфа на довжину сторони a. Тоді площа всього трикутника дорівнює:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Це і є площа підстави зображеної трикутної призми.

Бічна поверхня

Ми розібрали, як знайти площу основи призми. Бічна поверхня цієї фігури завжди складається з паралелограмів. Для прямих призм паралелограми стають прямими, тому їх сумарну площу легко обчислити:

S = ∑i=1n(ai*b)

Тут b – довжина бічного ребра, ai – довжина сторони i-го прямокутника, яка співпадає з довжиною сторони n-кутника. У разі правильної n-вугільної призми отримуємо простий вираз:

S = n*a*b

Якщо призма є похилій, тоді для визначення площі його бічної поверхні слід зробити перпендикулярний зріз, розрахувати його периметр Psr і помножити його на довжину бічного ребра.

Малюнок вище показує, як слід робити цей зріз для похилої п’ятикутної призми.