Щоб змінити швидкість переміщення тіла в просторі, необхідно докласти деяке зусилля. Цей факт відноситься до всіх видів механічного руху і пов’язаний з наявністю інерційних властивостей об’єктів, які мають масу. У даній статті розглядається обертання тіл і дається поняття про їх моменті інерції.

Що таке обертання з точки зору фізики?

Відповідь на це питання може дати кожна людина, оскільки цей фізичний процес нічим не відрізняється від його поняття в побуті. Процес обертання являє собою переміщення об’єкта, що має кінцевою масою, по круговій траєкторії навколо деякої уявної осі. Можна навести такі приклади обертання:

• Рух колеса автомобіля або велосипеда.
• Обертання лопатей вертольота або вентилятора.
• Рух нашої планети навколо осі і навколо Сонця.

Які фізичні величини характеризують процес обертання?

Переміщення по колу описується набором величин у фізиці, основні з яких перераховані нижче:

• r – відстань до осі матеріальної точки масою m.
• ω і α – кутова швидкість і прискорення, відповідно. Перша величина показує, на скільки радіан (градусів) тіло повертається навколо осі за одну секунду, друга величина описує швидкість зміни в часі першої.
• L – момент імпульсу, який подібний аналогічною характеристикою при лінійному русі.
• I – момент інерції тіла. Ця величина розглядається нижче у статті детально.
• M – момент сили. Він характеризує ступінь зміни величини L, якщо прикладена зовнішня сила.

Перераховані величини пов’язані один з одним наступними формулами обертального руху:

L = I*ω

M = I*α

Перша формула описує круговий рух тіла у відсутності дії зовнішніх моментів сил. В наведеному вигляді вона відображає закон збереження моменту імпульсу L. Другий вираз описує випадок прискорення або сповільнення обертання тіла в результаті дії моменту сили M. Обидва вирази часто використовуються при вирішенні задач динаміки по круговій траєкторії.

Як видно з цих формул, момент інерції щодо осі (I) в них використовується в якості деякого коефіцієнта. Розглянемо докладніше цю величину.

Звідки з’являється величина I?

У цьому пункті розглянемо найпростіший приклад обертання: кругове переміщення матеріальної точки масою m, відстань якої від осі обертання дорівнює r. Ця ситуація наведена на малюнку.

Згідно з визначенням, момент імпульсу L записується, як твір плеча r на лінійний імпульс p точки:

L = r*p = r*m*v, оскільки p = m*v

Враховуючи, що лінійна і кутова швидкість пов’язані один з одним через відстань r, це рівність можна переписати так:

v = ω*r => L = m*r2*ω

Добуток маси матеріальної точки на квадрат відстані до осі обертання прийнято називати моментом інерції. Формула вище перепишеться у такому випадку наступним чином:

I = m*r2 => L = I*ω

Тобто ми отримали вираз, який було наведено в попередньому пункті, і ввели у використання величину I.

Загальна формула для величини I тіла

Вираз для моменту інерції матеріальної точки масою m є базовим, тобто воно дозволяє розрахувати цю величину для будь-якого тіла, що має довільну форму і неоднорідний розподіл маси в ньому. Для цього необхідно розбити аналізований об’єкт на маленькі елементи масою mi (ціле число i – номер елемента), а потім помножити кожен з них на квадрат відстані ri2 до осі, навколо якої розглядають обертання, і скласти отримані результати. Описану методику знаходження величини I можна записати математично так:

I = ∑i(mi*ri2)

Якщо тіло розбите таким чином, що i->∞, тоді наведена сума замінюється інтегралом по масі тіла m:

I = ∫m(ri2*dm)

Цей інтеграл еквівалентний іншому інтегралу за обсягом тіла V, оскільки dV=ρ*dm:

I = ρ*∫V(ri2*dV)

Всі три формули використовуються для обчислення моменту інерції тіла. При цьому в разі дискретного розподілу мас в системі краще користуватися 1-му виразом. При безперервному розподілі маси застосовують 3-е вираз.

Властивості величини I та її фізичний зміст

Описана процедура отримання загального виразу для I дозволяє зробити деякі висновки про властивості цієї фізичної величини:

• вона є аддитивной, тобто повний момент інерції системи можна представити як суму моментів окремих її частин;
• вона залежить від розподілу маси всередині системи, а також від відстані до осі обертання, чим більше остання, тим більше I;
• вона не залежить від діючих на систему моментів сил M і від швидкості обертання ω.

Фізичний сенс I полягає в тому, наскільки сильно система перешкоджає будь-якій зміні швидкості її обертання, тобто момент інерції характеризує ступінь “плавності” виникають прискорень. Наприклад, колесо велосипеда можна легко розкрутити до великих кутових швидкостей і також легко його зупинити, але щоб змінити обертання маховика на коленвале автомобіля, знадобиться прикласти значне зусилля і деякий час. У першому випадку має місце система з малим моментом інерції, у другому – з великим.

Значення I деяких тіл для осі обертання, що проходить через центр мас

Якщо застосувати інтегрування за об’ємом для будь-яких тіл з довільним розподілом маси, то можна отримати для них величину I. У випадку однорідних об’єктів, які мають ідеальну геометричну форму, ця задача вже вирішена. Нижче наводяться формули моменту інерції для стрижня, диска і кулі масою m, в яких складає їх речовина розподілено рівномірно:

• Стрижень. Вісь обертання проходить перпендикулярно йому. I = m*L2/12, де L – довжина стрижня.
• Диск довільної товщини. Момент інерції з віссю обертання, що проходить перпендикулярно його площині через центр мас, обчислюється так: I = m*R2/2, де R – радіус диска.
• Куля. У вигляді високої симетрії фігури, для будь-якого положення осі, що проходить через її центр, I = 2/5*m*R2, тут R – радіус кулі.

Далі наведемо два приклади розв’язання задач на застосування загальної формули для розрахунку I та використання властивості адитивності цієї величини.

Задача на розрахунок значення I для системи з дискретним розподілом маси

Уявімо собі стрижень завдовжки 0,5 метра, який зроблений з міцного і легкого матеріалу. Цей стрижень, закріплений на осі таким чином, що вона проходить перпендикулярно йому точно посередині. На цей стрижень підвішені 3-й вантажу наступним чином: з одного боку осі є два вантажу масами 2 кг і 3 кг, що знаходяться на відстані 10 см і 20 см від його кінця, відповідно; з іншого боку підвішений один вантаж масою 1,5 кг до кінця стержня. Для цієї системи необхідно розрахувати момент інерції I і визначити, з якою швидкістю ω стрижень буде обертатися, якщо до одного з його кінців прикласти силу 50 М протягом 10 секунд.

Оскільки масою стрижня можна знехтувати, тоді необхідно розрахувати момент I для кожного вантажу і скласти отримані результати, щоб отримати повний момент системи. Згідно умові задачі від осі вантаж масою 2 кг знаходиться на відстані 0,15 м (0,25-0,1), вантаж 3 кг – 0,05 м (0,25-0,20), вантаж 1,5 кг – 0,25 м. Скориставшись формулою для моменту I матеріальної точки, отримуємо:

I = I1+I2+I3 = m1*r12 + m2*r22 + m3*r32 = 2*(0,15)2+3*(0,05)2+1,5*(0,25)2 = 0,14 625 кг*м2.

Звернемо увагу, що при виконанні обчислень всі одиниці вимірювання були переведені в систему СІ.

Щоб визначити кутову швидкість обертання стрижня після дії сили, слід застосувати формулу з моментом сили, яка була наведена у другому пункті статті:

M = I*α

Оскільки α = Δω/T і M = r*F, де r – довжина плеча, отримуємо:

r*F = I*Δω/Δt => Δω = r*F*T/I

Враховуючи, що r = 0,25 м, підставляємо числа у формулу, отримуємо:

Δω = r*F*T/I = 0,25*50*10/0,14625 = 854,7 радий/с

Отримана величина є досить великою. Щоб отримати звичну частоту обертання, слід поділити Δω на 2*pi радіан:

f = Δω/(2*pi) = 854,7/(2*3,1416) = 136 з-1

Таким чином, прикладена сила F до кінця стержня з вантажами за 10 секунд розкрутить його до частоти 136 оборотів в секунду.

Розрахунок значення I для стержня, коли вісь проходить через його кінець

Нехай є однорідний стрижень масою m і довжиною L. Необхідно визначити момент інерції, якщо вісь обертання розташована на кінці стрижня перпендикулярно йому.

Скористаємося загальним виразом для I:

I = ρ*∫V(ri2*dV)

Розбиваючи аналізований об’єкт на елементарні об’єми, зауважимо, що dV може бути записано, як dr*S, де S – площа перерізу стрижня, а dr – товщина елемента розбиття. Підставляючи цей вираз у формулу, маємо:

I = ρ*S*∫L(r2*dr)

Цей інтеграл можна обчислити досить просто, отримуємо:

I = ρ*S* (r3/3)∣0L => I = ρ*S*L3/3

Оскільки обсяг стрижня дорівнює S*L, а маса – ρ*S*L, отримуємо кінцеву формулу:

Цікаво відзначити, що момент інерції для того ж стрижня, коли вісь проходить через його центр мас, в 4 рази менше отриманої величини (m*L2/3/(m*L2/12)=4).