Розрахунок відстані від точки до площини на прикладі трикутної піраміди

Припустимо, що є правильна трикутна піраміда, висота якої дорівнює 15 см, а довжина сторони трикутного підстави становить 9 див. Необхідно розрахувати відстань від вершини фігури, що належить основи, до бічного трикутника.

Як знайти відстань від точки до площини трикутника бічного? Відповісти на це питання можна, якщо знайти рівняння площини, в якій цей трикутник розташовується. Введемо систему координат таким чином, щоб її початок лежало в центрі підстави фігури. Тоді шуканий трикутник перетинає осі координат в наступних точках:

(0; 0; h);

(-a/√3; 0; 0);

(0; a/3; 0).

Крім загальної форми запису рівняння для площини, існує також рівняння площини у відрізках, яке в даному випадку має вигляд:

-√3*x/a + 3*y/a + z/h = 1.

Помноживши ліву і праву частини на a*h, отримаємо:

-√3*h*x + 3*h*y + a*z – a*h = 0.

Відповідні координати вершини, що належить основи, дорівнюють:

(√3/6*a; -a/2; 0).

Тепер можна скористатися формулою для d:

d = |(-√3*h*√3/6*a + 3*h*(a/2) – a*h)|/√((-√3*h)2 + (3*h)2 + a2) =

= |(-a*h/2-3/2*a*h-a*h)|/√(12*h2+a2) = 3*a*h/√(12*h2+a2).

Підставляючи в цей вираз значення a=9 см і h=15 см, отримуємо шукану відстань: d = 7,68 див.