Формула відстані від площини до точки
Припустимо, що нам відомі координати деякої точки P і рівняння площини α:
P = (x0; y0; z0);
A*x + B*y + C*z + D = 0.
Відстанню від точки до площини називається довжина перпендикуляра, який повинен бути опущений з цієї точки до даної площини. Розрахувати довжину перпендикуляра d можна за наступною формулою:
d = |(A*x0 + B*y0 + C*z0 + D)|/√(A2 + B2 + C2).
Таким чином, якщо нам відомо рівняння в загальному вигляді для площини, в якій лежить грань розглянутої об’ємної фігури, то від обраної вершини розрахувати відстань до цієї межі нескладно, виконавши наведені вище обчислення.
Методика визначення відстані
Записана в пункті вище формула для d дає однозначну відповідь на запитання про те, як знайти відстань від точки до площини в піраміді, призмі або будь-якої іншої просторової фігури. Тим не менш корисно привести також методику обчислення відстані, яка дозволяє глибше розібратися з даною темою.
Запишемо ще раз математичний спосіб завдання точки і площини:
P = (x0; y0; z0);
A*x + B*y + C*z + D = 0.
Оскільки відстань від P до площині – це довжина перпендикуляра, то поставимо для початку рівняння прямої, яка перпендикулярна зазначеній площині і проходить через P. У векторній формі це рівняння буде мати вигляд:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ*(A; B; C).
Оскільки пряма перетинає площину в єдиній точці, то існує деяке значення λ, при якому координати певної точки прямої будуть задовольняти рівнянню площини. Наприклад, цими координатами (x1; y1; z1). Відстань між двома точками в просторі знайти нескладно, якщо обчислити модуль побудованого на них вектора. В даному випадку маємо:
d = √((x1-x0)2 + (y1-y0)2 + (z1-z0)2).
Очевидно, що для знаходження відстані d нам довелося виконати набагато більше математичних обчислень, ніж у разі використання формули вище. Тим не менш описана методика є надійним інструментом розрахунку відстаней від точки до площини, оскільки вона не передбачає запам’ятовування наведеної формули. Єдине, що слід запам’ятати, це вид рівняння у векторній формі для прямого.
