Призма є геометричної об’ємною фігурою, характеристики та властивості якої вивчають у старших класах шкіл. Як правило, при її вивченні розглядають такі величини, як об’єм і площа поверхні. У даній же статті розкриємо дещо інше питання: приведемо методику визначення довжини діагоналей призми на прикладі чотирикутної фігури.

Яка фігура називається призмою?

В геометрії дається наступне визначення призмі: це об’ємна фігура, обмежена двома багатокутними однаковими сторонами, які паралельні один одному, і деяким числом паралелограмів. Малюнок нижче показує приклад призми, відповідає цьому визначенню.

Ми бачимо, що два червоних п’ятикутника дорівнюють одна одній і перебувають у двох паралельних площинах. П’ять рожевих паралелограмів з’єднують ці пятиугольники в цілісний об’єкт – призму. Два п’ятикутника називаються підставами фігури, а її паралелограми – це бічні грані.

Призми бувають прямі і похилі, які також називають прямокутними і косоугольными. Різниця між ними полягає в кутах між підставою і бічними гранями. Для прямокутної призми всі ці кути рівні 90o.

За кількістю сторін або вершин багатокутника на підставі говорять про призмах трикутних, п’ятикутних, чотирикутних і так далі. Причому якщо цей багатокутник є правильним, а сама призма прямій, то таку фігуру називають правильною.

Наведена на попередньому малюнку призма є п’ятикутні похилій. Нижче ж зображена п’ятикутна пряма призма, яка є правильною.

Всі обчислення, включаючи методику визначення діагоналей призми, зручно виконувати саме для правильних фігур.

Які елементи характеризують призму?

Елементами фігури називають складові частини, які її утворюють. Конкретно для призми можна виділити три головних типи елементів:

• вершини;
• грані або сторони;
• ребра.

Гранями вважаються підстави і бічні площини, що представляють паралелограми в загальному випадку. У призмі завжди кожна сторона відноситься до одного з двох типів: або це багатокутник, або паралелограм.

Ребра призми – це ті відрізки, які обмежують кожну сторону фігури. Як і грані, ребра також бувають двох типів: належні основи і бічної поверхні або відносяться тільки до бічної поверхні. Перше завжди в два рази більше, ніж друге, незалежно від виду призми.

Вершини – це точки перетину трьох ребер призми, два з яких лежать у площині підстави, а третє – належить двом бічним граням. Всі вершини призми знаходяться в площинах підстав фігури.

Числа описаних елементів пов’язані в єдине рівність, має наступний вигляд:

Р = В + С – 2.

Тут Р – кількість ребер, вершин, З – сторін. Ця рівність називається теоремою Ейлера для полиэдра.

На малюнку показана правильна трикутна призма. Кожен може порахувати, що вона має 6 вершин, сторін 5 і 9 ребер. Ці цифри узгоджуються з теоремою Ейлера.

Діагоналі призми

Після таких властивостей, як об’єм і площа поверхні, в задачах геометрії часто зустрічається інформація про довжину тієї чи іншої діагоналі розглянутої фігури, яка яких дано або треба знайти за іншим відомим параметрам. Розглянемо, які бувають діагоналі у призми.

Всі діагоналі можна розділити на два типу:

Лежать у площині граней. Вони з’єднують несоседние вершини або багатокутника в основі призми, або паралелограма бічній поверхні. Значення довжин таких діагоналей визначається, виходячи із знання довжин відповідних ребер і кутів між ними. Для визначення діагоналей паралелограмів завжди використовуються властивості трикутників.

Лежать всередині об’єму призми. Ці діагоналі з’єднують неоднотипные вершини двох підстав. Ці діагоналі виявляються повністю всередині фігури. Їх довжини розрахувати дещо складніше, ніж для попереднього типу. Методика розрахунку передбачає облік довжин ребер і підстави, і паралелограмів. Для прямих і правильних призм розрахунок є відносно простим, оскільки він здійснюється з використанням теореми Піфагора і властивостей тригонометричних функцій.

Далі наведемо приклади обчислення різних діагоналей.

Діагоналі сторін прямої чотирикутної призми

На малюнку вище зображено чотири однакові прямі призми, і дані параметри їх ребер. На призмах Diagonal A, Diagonal B і Diagonal C штриховий червоною лінією зображено діагоналі трьох різних граней. Оскільки призма є прямий з висотою 5 см, а її основу представлено прямокутником зі сторонами 3 см і 2 см, то відшукати зазначені діагоналі не представляє ніякої праці. Для цього необхідно скористатися теоремою Піфагора.

Довжина діагоналі основи призми (Diagonal A) дорівнює:

DA = √(32+22) = √13 ≈ 3,606 див.

Для бічної грані призми діагональ дорівнює (див. Diagonal B):

DB = √(32+52) = √34 ≈ 5,831 див.

Нарешті, довжина ще однієї бічної діагоналі дорівнює (див. Diagonal C):

DС = √(22+52) = √29 ≈ 5,385 див.

Довжина внутрішньої діагоналі

Тепер розрахуємо довжину діагоналі чотирикутної призми, яка зображена на попередньому малюнку (Diagonal D). Зробити це не так складно, якщо помітити, що вона є гіпотенузою трикутника, в якому катетами будуть висота призми (5 см) і діагональ DA , зображена на малюнку вгорі зліва (Diagonal A). Тоді отримуємо:

DD = √(DA2+52) = √(2 2+32+52) = √38 ≈ 6,164 див.

Правильна чотирикутна призма

Діагональ призми, основою якої є квадрат, розраховується аналогічним чином, як і в наведеному вище прикладі. Відповідна формула має вигляд:

D = √(2*a2+c2).

Де a і c – довжини сторони підстави і бічного ребра, відповідно.

Зауважимо, що при обчисленнях ми використали теорему Піфагора. Для визначення довжин діагоналей правильних призм з великим числом вершин (п’ятикутні, шестикутні і так далі) вже необхідно застосовувати тригонометричні функції.