Квадратні рівняння часто з’являються під час вирішення різних задач фізики і математики. У даній статті ми розглянемо, як вирішувати ці рівності універсальним способом “через дискриминант”. Приклади використання отриманих знань також даються в статті.

Про які рівняннях піде мова?

На рисунку зображена формула, в якій x – невідома змінна, а латинські символи a, b, c представляють собою деякі відомі числа.

Кожен з цих символів називається коефіцієнтом. Як можна помітити, число “a” стоїть перед змінної x, піднесеної до квадрату. Це максимальна ступінь представленого вираження, тому воно називається квадратним рівнянням. Часто використовують інша його назва: рівняння другого порядку. Саме значення a – це квадратний коефіцієнт (стоїть при змінній в квадраті), b – це лінійний коефіцієнт (він знаходиться поруч із змінною, зведеної у першу ступінь), нарешті, число c – вільний член.

Зазначимо, що вигляд рівняння, який зображений на малюнку вище, є загальним класичним квадратним виразом. Крім нього існують інші рівняння другого порядку, в яких коефіцієнти b, c можуть бути нульовими.

Коли ставлять завдання вирішити цю рівність, то це означає, що такі значення змінної x потрібно знайти, які б йому задовольняли. Тут насамперед потрібно запам’ятати наступну річ: оскільки максимальна ступінь ікси – це 2, то даний тип виразів не може мати більше, ніж 2 рішення. Це означає, що якщо при рішенні рівняння були знайдені 2 значення x, які йому задовольняють, то можна бути впевненим, що не існує ніякого 3-го числа, підставляючи яке замість x, рівність також би було істиною. Рішення рівняння в математиці називають його корінням.

Способи рішення рівнянь другого порядку

Рішення рівнянь цього типу вимагає знання деякої теорії про них. У шкільному курсі алгебри розглядають 4 різних методу рішення. Перерахуємо їх:

• з допомогою факторизації;
• використовуючи формулу для повного квадрата;
• застосовуючи графік відповідної квадратичної функції;
• використовуючи рівняння дискримінанта.

Плюс першого методу полягає в його простоті, однак, він не для всіх рівнянь може застосовуватися. Другий спосіб є універсальним, проте кілька громіздким. Третій метод відрізняється своєю наочністю, але він не завжди зручний і прийнятний. І, нарешті, використання рівняння дискримінанта – це універсальний і досить простий спосіб знаходження коренів будь-якого рівняння другого порядку. Тому в статті розглянемо тільки його.

Формула для отримання коренів рівняння

Звернемося до загального вигляду квадратного рівняння. Запишемо його: a*x2+ b*x + c =0. Перед тим як користуватися способом його вирішення “через дискриминант”, слід наводити рівність завжди до записаного увазі. Тобто воно має складатися з трьох доданків (або менше, якщо b або c дорівнює 0).

Наприклад, якщо є вираз x2-9*x+8 = -5*x+7*x2, то спочатку слід перенести всі його члени в одну сторону рівності і скласти доданки, що містять змінну x в однакових ступенях.

В даному випадку ця операція призведе до наступного виразу: -6*x2-4*x+8=0, яке еквівалентне рівнянню 6*x2+4*x-8=0 (тут ліву і праву частини рівності ми помножили на -1).

Як тільки засвоєний описаний вище крок, далі, слід навчитися розрізняти коефіцієнти. Тут все просто: при x2 завжди варто a, при x1 знаходиться b, вільний член c являє собою не пов’язане з x число.

У прикладі вище a = 6, b=4, c=-8. Зауважимо, що всі члени даного рівності завжди сумуються між собою, тому, якщо з’являється знак “-“, то це означає, що негативним є відповідний коефіцієнт, як число c в даному випадку.

Розібравши цей момент, перейдемо тепер до самої формулою, яка дає можливість отримання коренів квадратного рівняння. Вона має вигляд, який представлений на фото нижче.

Як видно з цього висловлення, воно дозволяє отримувати два кореня (слід звернути увагу на знак “±”). Для цього у нього достатньо підставити коефіцієнти b, c і a.

Поняття про дискриминанте

У попередньому пункті була наведена формула, яка дозволяє швидко вирішити будь-яке рівняння другого порядку. В ній підкореневий вираз називають дискриминантом, тобто D = b2-4*a*c.

Чому цю частину формули виділяють, і вона навіть має власну назву? Справа в тому, що дискриминант пов’язує в єдине вираження всі три коефіцієнти рівняння. Останній факт означає, що він повністю несе інформацію про коріння, яку можна виразити наступним списком:

D>0: рівність має 2 різних рішення, причому обидва вони являють собою дійсні числа.

D<0: також виходять два кореня, але обидва вони комплексні. Цей тип виразів навчилися вирішувати тільки в епоху Відродження, коли математиків нового часу було введено поняття “уявна одиниця”.

D=0: у рівняння всього один корінь, і він є дійсним числом.

Далі в статті наведені приклади з дискриминантом квадратних рівнянь і дано їх рішення.

Завдання на визначення дискримінанта

Наведемо простий приклад, як знайти дискриминант. Нехай дано таке рівність: 2*x2 – 4+5*x-9*x2 = 3*x-5*x2+7.

Наведемо його до стандартного вигляду, отримуємо: (2*x2-9*x2+5*x2) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, звідки приходимо до рівності: -2*x2+2*x-11 = 0. Тут a=-2, b=2, c=-11.

Тепер можна скористатися цією формулою для дискримінанта: D = 22 – 4*(-2)*(-11) = -84. Отримане число є відповіддю на поставлене завдання. Оскільки в прикладі дискриминант менше нуля, то можна сказати, що дане квадратне рівняння не має дійсних коренів. Його рішенням будуть тільки числа комплексного типу.

Приклад нерівності через дискриминант

Вирішимо завдання дещо іншого типу: дано рівність -3*x2-6*x+c = 0. Необхідно знайти такі значення c, для яких D>0.

В даному випадку відомо лише 2 з 3 коефіцієнтів, тому розрахувати точне значення дискримінанта не вийде, проте відомо, що він є позитивним. Останній факт використовуємо при складанні нерівності: D= (-6)2-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Рішення отриманого нерівності приводить до результату: c>-3.

Перевіримо отримане число. Для цього обчислимо D 2 випадків: c=-2 і c=-4. Число -2 задовольняє отриманого результату (-2>-3), відповідний дискриминант буде мати значення: D = 12>0. У свою чергу, число -4 не задовольняє нерівності (-4<-3), обчислюємо дискриминант: D = -12<0, що суперечить умові задачі.

Таким чином, будь-які числа c, які більше -3, будуть задовольняти умові.

Приклад розв’язання рівняння

Наведемо задачу, яка полягає не лише в знаходженні дискримінанта, але і в рішенні рівняння. Необхідно знайти коріння для рівності -2*x2+7-9*x = 0.

У цьому прикладі дискриминант дорівнює наступного значення: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тоді корені рівняння визначаться так: x = (9±√137)/(-4). Це точні значення коренів, якщо обчислити наближено корінь, тоді вийдуть числа: x = -5,176 і x = 0,676.

Геометрична задача

Вирішимо задачу, яка вимагає не тільки вміння обчислювати дискриминант, але і застосування навичок абстрактного мислення і знання, як складати квадратні рівняння.

У Боба було пухову ковдру розміром 5 х 4 метри. Хлопчик захотів пришити до нього по всьому периметру суцільну смугу з красивою тканини. Якої товщини буде ця смуга, якщо відомо, що у Боба є 10 м2 тканини.

Нехай смуга буде мати товщину x м, тоді площа тканини по довгій стороні ковдри становитиме (5+2*x)*x, а оскільки довгих сторін 2, то маємо: 2*x*(5+2*x). По короткій стороні площа пришитою тканини складе 4*x, так як цих сторін 2, то отримуємо значення 8*x. Зазначимо, що до довгій стороні було додано значення 2*x, оскільки довжина ковдри збільшилася на це число. Загальна пришита до ковдрі площа тканини дорівнює 10 м2. Тому отримуємо рівність: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x2+18*x-10 = 0.

Для цього прикладу дискриминант дорівнює: D = 182-4*4*(-10) = 484. Його корінь дорівнює 22. Скориставшись формулою, знаходимо шукані корені: x = (-18±22)/(2*4) = (-5; 0,5). Очевидно, що з двох коренів підходить по умові задачі тільки число 0,5.

Таким чином, смуга з тканини, яку пришиє Боб до свого ковдрі, буде мати ширину 50 див.