У даній статті буде розглянуто алгебраїчна прогресія, формули, необхідні для розв’язання задач з її участю, а також деякі приклади їх використання. Для повноти інформації коротко буде сказано про іншому вигляді прогресії – геометричної.

Поняття про алгебраїчної прогресії

Кожен ряд чисел, який упорядковано відповідно до деякого закону, може називатися прогресією. Найбільш популярними і застосовуються для вирішення практичних завдань є два види таких рядів: алгебраїчна і геометрична прогресія. Розглянемо детальніше першу з них.

Алгебраїчну частіше називають арифметичною прогресією. Математично вона означає наступне:

an = an-1 + d

Тобто мова йде про такий числової послідовності, в якій кожен її член відрізняється від попереднього або наступного на однакове число d. Це число носить назву різниці (його можна визначити, знайшовши різниця двох сусідніх елементів прогресії).

Згідно з таким визначенням, розглянута прогресія має початок, але не має кінця. Починається вона завжди з члена a1 (будь-яке дійсне число), а потім продовжується шляхом підсумовування цього члена з різницею d. Відповідно, вона може бути нескінченно зростаючу (d > 0) або зменшенням (d < 0). Ситуація, коли d = 0, також може розглядатися як приватний випадок арифметичної прогресії, представленої нескінченною послідовністю однакових чисел.

Формула для знаходження довільного члена

Як було пояснено вище, розглянутий вид прогресії однозначно визначається її першим елементом і різницею, однак це правило поширюється на будь-які інші величини. Наприклад, знання двох довільних елементів або одного елемента і суми деякого числа членів також однозначно визначає прогресію.

Для обчислення n-го елемента можна з успіхом користуватися наступною формулою:

an = a1 + (n – 1) * d

Очевидність справедливості цього вислову не викликає сумніву, і його може перевірити кожен, підставляючи малі значення n.

Формула для відновлення прогресії по двом відомим елементів

У шкільному курсі алгебри такі завдання є типовими на прогресію: відомо два елемента an am, причому n > m, необхідно на них побудувати всю прогресію.

Вирішується ця проблема з використанням формули для n-го члена. Випишемо два відповідних виразу:

an = a1 + (n – 1) * d;

am = a1 + (m – 1) * d

Знайдемо різницю між першим і другим (знак рівності при цьому зберігається):

an – am = (n – m) * d =>

d = (an – am) / (n – m)

Ми бачимо, як легко можна знайти різниця прогресії, якщо відомі два її члена: для цього необхідно з більшого порядку відняти меншу, а потім одержану різницю поділити на різницю їх порядкових номерів.

Як тільки знайдена різниця, обчислити перший член не представить жодної праці (для цього слід скористатися будь-яким з двох перших виразів).

Сума прогресії алгебраїчної

Ще однією серією типових завдань на прогресію є знаходження суми їх членів. Нижче наводиться відповідна формула суми прогресії алгебраїчної:

Sn = ∑i=1n (ai) = n * (a1 + an) / 2

Тобто для визначення суми перших доданків n потрібно обчислити суму двох з них (першого і n-ного), помножити її на кількість членів n і результат поділити навпіл.

Математичне доказ цього виразу ми опустимо, однак логічне доказ все ж таки наведемо. Можна зауважити, що з огляду на властивості розглянутого типу прогресії завжди виконується наступна рівність:

a1 + an = a2 + an-1

Дійсно, другий член більше першого d, але на стільки ж передостанній (an-1) менше останнього (an). У випадку парного числа елементів ми отримуємо рівно половину таких сум від всього числа елементів (n / 2), звідки і слід наведена формула для Sn.

Прийнято вважати, що зазначену особливість арифметичної прогресії вперше встановив Карл Гаусс, відомий математик кінця XVIII – першої половини XIX століття, коли він у розумі за кілька секунд порахував суму натуральних чисел від одиниці до 100.

Приклади розв’язання задач

Розглянемо два приклади алгебраїчної прогресії.

1. Відомо, що 9-й член дорівнює 7, а 21-ї дорівнює 51. Необхідно знайти перших 5 членів арифметичної прогресії.

Умова задачі дозволяє відразу ж розрахувати різницю d, застосовуючи формулу з an am, яка записана вище. Маємо:

d = (an – am) / (n – m) = (51 – 7) / (21 – 9) = 3,667

При отриманні різниці d ми виконали округлення до 3 знаки після коми.

Тепер можна розрахувати перший елемент ряду. Для цього скористаємося даними для 9 члена:

a9 = a1 + d * 8 => a1 = a9 – d * 8 = 7 – 3,667 * 8 = -22,336

Для вирішення завдання залишилося зробити останній крок: послідовно додати 4 рази величину d до першого елемента. Отримуємо:

a1 = -22,336;

a2 = -22,336 + 3,667 = -18,669;

a3 = -18,669 + 3,667 = -15,002;

a4 = -15,002 + 3,667 = -11,335;

a5 = -11,335 + 3,667 = -7,668

Нагадаємо, що всі розраховані значення справедливі до третього знака після коми.

2. Робітники складали спиляні стовбури дерев у вигляді піраміди. Відомо, що вони склали всього 33 колоди, причому до завершення піраміди їм не вистачило всього 3 колоди. Слід визначити, скільки рядів колод склали робітники.

Відповідь на це питання полягає у вирішенні алгебраїчних прогресії, але для того, щоб до нього приступати, необхідно уважно розібратися з цією умовою.

По-перше, оскільки колоди складаються в піраміду, значить, у кожному попередньому ряді було на одну колоду більше, тобто d = 1. По-друге, якщо відомо, що не вистачило до завершення піраміди всього 3 колоди, тоді два верхніх ряду залишилися порожніми:

a1 = 1, a2 = a1 + d = 2, a1 + a2 = 3

Врахуємо ці три колоди, додавши їх до вже 33 складеним, і визначимо невідоме число рядів n, користуючись формулами для суми і n-го члена:

Sn = n * (a1 + an) / 2; an = a1 + d * (n – 1) =>

Sn = n * (a1 + a1 + d * (n – 1)) /2 = (2 * a1 – d) / 2 * n + d * n2 / 2

Підставляємо в останнє рівність відомі дані і вирішуємо отримане квадратне рівняння відносно n:

36 = 0,5 * n + 0,5 * n2 або

n2 + n – 72 = 0

Дискриминант: D = 1 – 4 * 1 * (-72) = 289

Коріння: n = (-1 ± 17) / 2 = (8; -9)

Від’ємне значення відкинемо відразу, оскільки воно суперечить умові задачі. Таким чином, 8 рядів піраміди будуть містити 36 колод. Так як робітники не завершили два верхніх ряду, значить, вони склали 6 рядів колод.

Кілька слів про геометричної прогресії

Алгебраїчна і геометрична прогресії, як правило, розглядаються в рамках однієї теми, тому корисно дати поняття і про другому типі впорядкованого числового ряду. Отже, геометрична прогресія являє собою ряд чисел, які підкоряються закону:

an = an-1 * r

Тобто на відміну від арифметичної, тут для отримання всіх елементів необхідно не додавати одне число, а множити на нього (r називається знаменником).

З визначення зрозуміло, що геометрична прогресія зростає (зменшується) набагато швидше, ніж арифметична.

Застосовується вона часто в геометрії, наприклад при обчисленні площ фігур за допомогою їх розбиття на окремі елементи (метод ділення навпіл).