Фігура піраміда з точки зору геометрії складається з різних елементів і описується за допомогою різних величин, наприклад, довжини ребер або висоти. Однією з важливих характеристик цього класу фігур є площа підстави. У даній статті міститься відповідь на питання, за допомогою яких формул площа основи піраміди можна порахувати.

Піраміда як геометрична фігура

Перш ніж говорити про конкретні формули площі підстави піраміди, слід дати чітке визначення цієї постаті та її елементів. Піраміда – це геометричний об’єкт в просторі, який утворений n+1 гранню, причому n граней – це трикутники, що перетинаються в одній точці, і одна грань є n-вугільним підставою.

Каркас з ребер піраміди легко отримати, якщо уявити собі плоский багатокутник, вершини якого з’єднані відрізками з єдиною просторовою точкою. Остання не повинна перебувати в площині багатокутника. Ця точка є головною вершиною фігури. Крім неї, піраміда має ще n вершин, які належать основи.

Основними лінійними параметрами будь піраміди є її довжини ребер і висота. Самі ребра бувають двох типів: ті, які відносяться до основи, і ті, що обмежують бічні трикутні грані. Висотою піраміди називається довжина перпендикуляра, який опущений на основу з головної вершини. Якщо він перетинає основу в його центрі, то говорять про прямий піраміді. Якщо пряма піраміда має правильне підставу, наприклад, рівносторонній трикутник, то її називають правильною фігурою. З правильними пірамідами зручно працювати при розрахунку геометричних властивостей, наприклад, площ та об’ємів.

Як обчислити площу підстави?

Зважаючи описаного вище різноманіття пірамід, універсальної формули площі підстави фігури не існує. Так, якщо у підставі знаходиться трикутник, то слід застосовувати відповідний вираз для розрахунку його площі, якщо це буде підстава у вигляді паралелограма, то формула буде мати інший вигляд. Іншими словами, для кожного n-кутника довільної форми необхідно провести певний геометричний аналіз, щоб визначити його площу.

Ситуація сильно спрощується, якщо підставою є рівносторонній і равноугольный багатокутник. Відзначимо, що мова йде тільки про правильність самої підстави, а не піраміди в цілому. Маючи правильне підставу, вона може бути похилій.

Для правильного підстави існує вираз загального характеру, яке дозволяє обчислити його площу. У разі n-кутника правильного формула площі підстави піраміди має наступний вигляд:

Sn = n/4*a2*ctg(pi/n).

Де a – довжина ребра підстави, n – кількість сторін підстави. Підставляючи в цю формулу будь-якого значення n і довжину a боку, ми можемо отримати площа багатокутника, а значить, площа основи піраміди.

Основу правильної трикутної піраміди

Правильна трикутна піраміда називається тетраедром. Складається вона з чотирьох трикутників, один з яких обов’язково повинен бути рівностороннім. Він є підставою фігури. Щоб записати формулу площі підстави піраміди трикутної, можна зробити двома способами. Опишемо обидва.

Як відомо, висота в рівносторонньому трикутнику є його бісектрисою і ділить кут в 60o навпіл. Цей факт дозволяє використовувати тригонометрическую функцію, наприклад, косинус, щоб обчислити висоту трикутника. Позначимо її ha, тоді її довжина визначиться так:

ha = a*cos(30o) = √3/2*a.

Тоді площа підстави рівностороннього трикутника запишеться як добуток ha на довжину його сторони, поділена навпіл:

S3 = 1/2*√3/2*a*a = √3/4*a2.

Другий спосіб, який також призводить до цієї формули, полягає в простій підстановці значення n=3 у наведену вище формулу для Sn. В такому випадку отримуємо:

S3 = 3/4*a2*ctg(pi/3) = 3/4*a2*1/√3 = √3/4*a2.

Основу правильної чотирикутної піраміди

Типовим прикладом цієї піраміди є стародавні кам’яні споруди в Гізі, Єгипет. Підставою цих пірамід є квадрат. Кожен школяр знає, як розрахувати площу квадрата, якщо довжина його сторони відома. Відповідна формула площі підстави чотирикутної піраміди має простий вигляд:

S4 = a2.

До цього виразу можна прийти, якщо підставити n=4 в рівність для Sn.

Для багатьох правильних підстав з n>4 не можна точно записати формулу в тому вигляді, в якому вона записана S3 і S4. Пов’язано це з тим, що функція котангенса призводить до ірраціональних чисел, які не можуть бути записані у вигляді конкретного кореня.