Обертання механічної системи є одним з поширених способів руху тіл у просторі. Цей тип руху характеризується набором фізичних величин, в назві яких присутнє слово “момент”. Дана стаття присвячена відповіді на наступне запитання: у чому вимірюється момент інерції.

Характеристика руху обертання

Кожен добре розуміє, про що йде мова. Досить згадати обертання коліс автомобіля, велосипеда або чортового колеса в парку атракціонів. Якщо говорити про великих просторах і масах, то можна згадати про обертанні Землі навколо зірки Сонце.

У фізиці всі зазначені в прикладах вище переміщення об’єктів прийнято описувати наступним рівнянням:

M = dL / dt.

Тут M – це момент зовнішньої сили, який, діючи на систему протягом часу dt, що викликає зміну її кутового моменту на величину dL. Риса над символами говорить про те, що вони є векторами.

Якщо зовнішні сили не мають жодного моменту M, тоді рівняння вище переходить у так званий закон збереження кутового моменту L, тобто:

L = const.

У фізику кутовий момент (його також називають моментом імпульсу) вводиться як векторний добуток лінійного імпульсу точки з масою m і швидкістю v на вектор r, який перпендикулярний осі обертання і з’єднує її з цією точкою, тобто:

L = r * m * v.

Якщо скористатися поняттям про кутової швидкості ω та її зв’язком з аналогічною лінійної величиною v, то це рівність можна переписати в такому вигляді:

L = I * ω.

У цьому виразі I – це певний коефіцієнт, що зв’язує дві векторні величини. Він отримав назву моменту інерції.

Величина I у фізиці

В останньому виразі попереднього пункту величина I дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані до осі, тобто:

I = m * r2.

Оскільки всі реальні тіла є матеріальними точками, а мають певні просторові параметри і форму, то для визначення моменту інерції використовується вихідний вираз вище, яке стає подынтегральным. Загальна формула для I тіла виглядає так:

I = ∫m(r2 * dm).

Ця математична формула говорить про те, що щоб порахувати момент інерції всього тіла його потрібно подумки розбити на матеріальні точки dm, помножити їх на квадрат відстані до осі обертання, а потім всі результати скласти.

У чому вимірюється момент інерції тіла?

Оскільки вище була наведена основна інформація, яку необхідно знати для розуміння розглянутої величини, то кожен може відповісти на питання цього пункту. Тим не менш, розглянемо його більш докладно.

Отже, в яких одиницях вимірюється момент інерції тіла? І формула для матеріальної точки, і загальний вираз для тіла довільної форми приводять до одного і того ж відповіді: величина I абсолютно будь обертової системи вимірюється в кілограмах на квадратний метр (кг*м2).

Звичайно ж, для вираження моменту інерції можна використовувати будь-які часткові одиниці від зазначеного стандарту СІ. Наприклад, для систем з невеликими масами і лінійними розмірами I може виражатися в грамах на сантиметр в квадраті (м*см2). Навпаки, в космічних масштабах можуть застосовуватися мегатонни на астрономічні одиниці в квадраті (найчастіше використовується все ж таки кг*м2 з числом 10, зведеним у великі ступеня).

Відповідаючи на питання, у чому вимірюється момент інерції, слід згадати інший підхід для вираження цієї величини. Для його розуміння запишемо формулу для зміни моменту імпульсу:

M = dL / dt = I * dω / dt, отже, I = M * dt / dω.

Оскільки момент сил вимірюється в ньютонах на метр (Н*м), dt – в секундах, dω – в радіанах в секунду, то одержуємо для і:

I = [Н*м*с2/радий] або [Дж*с2/радий].

Обидві одиниці виміру є вірними для I, але вони майже не використовуються при вирішенні завдань, оскільки є похідними від стандарту в СІ, тобто від кг*м2. Тим не менше ці одиниці (особливо остання), пов’язані з фізичним змістом процесу обертання тіла.

Сенс величини I

Розглянувши питання, в яких одиницях вимірюється момент інерції, можна сказати і про те, що означає ця величина.

Якщо звернути увагу на форму запису моменту імпульсу L через швидкість ω, то можна помітити її повну схожість з виразом для лінійного імпульсу. З цього подібності випливає, що момент інерції I – це свого роду маса для руху обертання. Чим більше I, тим важче надати прискорення системі (розкрутити чи зупинити її).

Розглядаючи фізичний зміст I з точки зору енергії, звернемося до отриманої в попередньому пункті одиниці виміру – [Дж*с2/радий]. Вона показує, що для моменту інерції тіла в 1 Дж*с2/рад (1 кг*м2) необхідно моменту сил зробити роботу в 1 Дж, щоб надати кутове прискорення системі, дорівнює 1 рад/с2.

Момент інерції перерізу

Відповідаючи на питання, у чому вимірюється момент інерції, ми розглянули величину I для обертового тіла. Тим не менше існує ще одна величина, яка називається в математиці моментом інерції 2-го порядку. Ця зовсім інша величина, ніж розглянута. Вона розраховується через подвійний інтеграл для довільного перерізу і використовується для аналізу напружень вигину, що виникають в реальних тілах при дії зовнішніх вантажів на них. Цей момент інерції вимірюється в одиницях довжини в четвертій степені, тобто в м4.