Правильна призма

Всяка пряма призма, в основі якої лежить правильний багатокутник, називається правильною. Зазначений багатокутник повинен мати однакові довжини всіх сторін і рівні кути. Таким прямокутником є рівносторонній трикутник, квадрат, пентагон і так далі.

На рисунку зображено дві призми. Ліва з них є правильною, оскільки в її основі знаходиться квадрат і вона пряма. Права ж, незважаючи на те, що пряма, не є правильною, оскільки її основа – це довільний чотирикутник.

Єдиною правильною призмою, яка має власну назву, є куб. Він виходить, коли висота фігури збігається з довжиною сторони квадрату, що знаходиться в основі.

Оскільки площа для правильного багатокутника вирахувати легко, то для будь-якої правильної призми відомі формули площі поверхні і об’єму.

Площа правильного багатокутника

Перед тим як наводити формули площі поверхні і об’єму призми прямокутної, розглянемо правильний багатокутник.

Нижче на малюнку зображений набір правильних многокутників, за винятком кола.

Видно, що для кожного з них число сторін збігається з кількістю кутів. Більш того, всі сторони і кути є однаковими. Ці властивості дозволяють навести формулу, яка є універсальною для всіх правильних багатокутників і дозволяє обчислити їх площа. Формула має вигляд:

Sn = n/4*a2*ctg(pi/n)

Де a – довжина сторони, n – кількість сторін (вершин) фігури. Символом ctg позначається тригонометрична функція котангенс.

Покажемо, як користуватися цим виразом. Наприклад, обчислимо площу рівностороннього трикутника. Для нього n = 3, тоді:

S3 = 3/4*a2*ctg(pi/3) = 3/4*a2*1/√3 = √3/4*a2

Тепер скористаємося цією формулою для квадрата. Маємо:

S4 = 4/4*a2*ctg(pi/4) = a2*1 = a2

Тобто ми отримали всім відомий вираз для площі квадрата.