Властивості і формули прямокутної призми

Призма є однією з досконалих об’ємних фігур, поряд з кулею, циліндром і пірамідою, властивості якої розглядаються у спеціальному розділі геометрії – стереометрії. У цій статті обговоримо основні характеристики прямокутної призми.

Фігура призма

Багато знають про трикутні призми або шестикутні, але не кожна людина чітко уявляє, що це за фігура в загальному вигляді. В геометрії під нею розуміють просторовий об’єкт, який обмежений двома однаковими многокутниками і кількома чотирикутниками. Два багатокутника називаються основами призми. Вони лежать у паралельних площинах. Всі чотирикутники є параллелограммами і утворюють бічну поверхню фігури.

Основні формули і властивості призми стосуються питань визначення об’єму, площі її поверхні та числа утворюють фігуру елементів. До складу останніх входять вершини, ребра та грані. Кількості цих елементів пов’язані один з одним виразом Ейлера для поліедрів. Воно має наступний вигляд:

Число ребер = число граней + число вершин — 2

Оскільки бічна поверхня призми представлена завжди параллелограммами, то основні її характеристики залежать від типу багатокутника, що лежить в основі цієї фігури. Якщо гратки є трикутник, то призма називається трикутною, якщо чотирикутник – то чотирикутної і так далі.

Прямокутна призма

Якщо кут між бічною стороною призми та її підставою дорівнює 90 o, то така фігура називається прямокутною. Зауважимо, що мова йде про вугілля між сторонами, а не між ребрами. Часто таку фігуру називають прямою призмою.

Коли зазначений кут дорівнює 90 o, то всі паралелограми автоматично стають прямими. Це ще одна причина, чому цю призму називають прямокутною. На малюнку нижче показано, як виглядає прямокутна призма.

Тут ми бачимо, що кожна з трьох призм відрізняється від інших типом багатокутника, що лежить в основі фігури. На малюнку наведено трикутна, чотирикутна і п’ятикутна призми. Кількість прямокутників для кожної з них дорівнює 3, 4 і 5 відповідно.

Важливою властивістю прямокутної призми, яка відрізняє її від косокутних, є той факт, що довжина її бічного ребра збігається з висотою фігури. Це властивість виявляється дуже зручним при обчисленні площі її поверхні і об’єму.

Правильна призма

Всяка пряма призма, в основі якої лежить правильний багатокутник, називається правильною. Зазначений багатокутник повинен мати однакові довжини всіх сторін і рівні кути. Таким прямокутником є рівносторонній трикутник, квадрат, пентагон і так далі.

На рисунку зображено дві призми. Ліва з них є правильною, оскільки в її основі знаходиться квадрат і вона пряма. Права ж, незважаючи на те, що пряма, не є правильною, оскільки її основа – це довільний чотирикутник.

Єдиною правильною призмою, яка має власну назву, є куб. Він виходить, коли висота фігури збігається з довжиною сторони квадрату, що знаходиться в основі.

Оскільки площа для правильного багатокутника вирахувати легко, то для будь-якої правильної призми відомі формули площі поверхні і об’єму.

Площа правильного багатокутника

Перед тим як наводити формули площі поверхні і об’єму призми прямокутної, розглянемо правильний багатокутник.

Нижче на малюнку зображений набір правильних многокутників, за винятком кола.

Видно, що для кожного з них число сторін збігається з кількістю кутів. Більш того, всі сторони і кути є однаковими. Ці властивості дозволяють навести формулу, яка є універсальною для всіх правильних багатокутників і дозволяє обчислити їх площа. Формула має вигляд:

Sn = n/4*a2*ctg(pi/n)

Де a – довжина сторони, n – кількість сторін (вершин) фігури. Символом ctg позначається тригонометрична функція котангенс.

Покажемо, як користуватися цим виразом. Наприклад, обчислимо площу рівностороннього трикутника. Для нього n = 3, тоді:

S3 = 3/4*a2*ctg(pi/3) = 3/4*a2*1/√3 = √3/4*a2

Тепер скористаємося цією формулою для квадрата. Маємо:

S4 = 4/4*a2*ctg(pi/4) = a2*1 = a2

Тобто ми отримали всім відомий вираз для площі квадрата.

Поверхня призми

Коли давалося геометричне визначення розглянутої фігури, було показано, що вона складається з двох підстав і деякого числа паралелограмів. Це число в точності дорівнює кількості сторін багатокутника в підставі. Площа поверхні розглянутої фігури прийнято записувати наступною формулою:

S = 2*So + Sb

Де So – площа підстави, Sb – бічної поверхні. Оскільки остання складається з n паралелограмів, то її величина дорівнює сумі їх площ.

У разі правильної прямої призми бічна поверхня буде утворена прямокутниками зі сторонами a і h, де a – довжина сторони підстави, h – висота призми. Для випадку n правильного косинця, отримуємо формулу для площі Stot призми:

Stot = n/2*a2*ctg(pi/n) + n*a*h

Нижче наведено малюнок, що демонструє розгортку шестикутної призми.

Видно, що фігура, утворена двома правильними шестикутниками і шістьма однаковими прямокутниками, одна сторона яких дорівнює стороні шестикутника. Застосовуючи вище вираз для цієї призми, отримаємо:

S6tot = 6/2*a2*ctg(pi/6) + 6*a*h = 3*a*(√3*a+2*h)

Формула обсягу

Обсяг призми в загальному випадку обчислюється за такою простою формулою:

V = So*h

Для прямокутної фігури висота є її ребром, тому цей вираз застосовувати виявляється просто. Наприклад, розрахуємо обсяг для трикутної призми. Вище вже була розрахована площа її підстави, вона дорівнює:

S3 = √3/4*a2

Тоді значення обсягу для фігури буде наступним:

V = S3*h = √3/4*a2*h

Наведені формули для прямої призми з правильним гратки на підставі показують, що всі властивості цих фігур можна отримати, якщо знати всього два параметри: довжину сторони n-кутника і висоту призми.