Рівняння моментів для матеріальної точки

Тепер настав час перейти безпосередньо до теми статті. Якщо обертаючий момент M діє протягом часу dt, тоді він призводить до зміни моменту імпульсу на величину dL, тобто:

dL = M*dt.

Ця рівність є диференціальної форми запису рівняння моментів у фізиці. Перенесемо член dt в ліву частину рівності і перепишемо dL в явному вигляді, отримаємо:

dL/dt = M =>

m*dv*r/dt = M.

Згадаймо, що лінійна швидкість в кінематиці пов’язана з кутовою наступним рівністю:

v = ω*r.

Підставляючи його в рівняння моментів, отримуємо:

m*dω*r2/dt = M =>

I*α = M, де α = dω/dt, I = m*r2.

Отримане рівність часто використовується для визначення кінематичних характеристик обертової системи, якщо відомі момент зовнішніх сил M і момент інерції I.

Закон збереження величини L

Рівняння моментів показує, як змінюється момент імпульсу, якщо діє зовнішній момент M. Що буде відбуватися з системою, якщо M виявиться рівним нулю? У такому випадку величина L буде зберігатися. Математична формула для такої ситуації записується наступним чином:

L = const або

L = m*r*v = m*r2*ω = I*ω = const.

Зауважимо, що умова M = 0 має дотримуватися тільки для зовнішніх сил. Внутрішні сили, що створюють момент M, не можуть змінити момент імпульсу системи.

Закон збереження L використовується для повороту штучних супутників в космічному просторі і у фігурному катанні. Так, групуючись різним чином, спортсмен змінює свого значення моменту інерції, що призводить до пропорційного зміни швидкості його кутового обертання.