Динаміка обертання є одним із важливих розділів сучасної механіки, яка розглядає закони обертального переміщення тіл навколо осей і точок. У даній статті ми детально вивчимо головне рівняння динаміки обертання – рівняння моментів.

Момент імпульсу

Кожному школяреві відомо, що являє собою механічний імпульс, який більш правильно називати кількістю руху. Тепер припустимо, що матеріальна точка, що має масу m, обертається навколо осі O з лінійною швидкістю v. Якщо радіус обертання позначити як r, тоді можна записати наступний вираз:

L = [m*v*r].

Перші два множника у правій частині рівності є лінійним імпульсом точки. Векторне твір цього імпульсу на вектор r, спрямований від осі обертання до точки, називається моментом імпульсу L.

Величина L є векторною. Спрямована перпендикулярно площині обертання точки. Напрямок моменту імпульсу матеріальної точки визначається за допомогою правила правої руки правила буравчика. Обертання точки проти годинникової стрілки створює позитивний момент імпульсу.

Оскільки швидкість обертання v спрямована по дотичній до кругової траєкторії, то векторне вираз можна переписати у скалярної формі:

L = m*v*r.

Момент сили

Це ще одна важлива характеристика обертального переміщення. Вводиться в фізиці ця величина аналогічним чином, як і момент імпульсу матеріальної точки, тільки замість кількості руху в записану вище формулу потрібно підставити дотичну силу. Маємо:

M = [r*F].

Момент сили, який також називається обертальним моментом, що характеризує здатність останньої зробити поворот системи і надати їй кутове прискорення.

Напрямок вектора обертаючого моменту M визначається за тими ж правилами, що і для вектора L. Якщо система здійснює прискорене обертання, тоді M та L за напрямом збігаються, якщо уповільнене, то вони будуть протилежно спрямованими.

Якщо сила F і радіус-вектор r будуть взаємно перпендикулярними, тоді векторна форма запису перейде в аналогічну скалярну:

M = r*F.

Величину r називають важелем сили. Чим більше його значення, тим більший момент створює сила F, і тим більшим буде кутове прискорення системи.

Прикладами, які дозволять чіткіше уявити, в чому полягає фізичний зміст величини M, є відкручування гайки спеціальним довгим ключем, процес відкривання дверей з допомогою її поштовху близько ручки і близько дверних петель, а також процес утримання тіла деякої маси на витягнутій і притиснутою до тіла руці.

Момент інерції

Залишилося дати визначення третього моменту, який використовується для кількісного опису процесу обертання. Момент інерції матеріальної точки, параметри якої були записані на початку статті, розраховується за формулою:

I = m*r2.

На відміну від двох інших моментів (M і L), момент інерції є скаляром. З допомогою нього описують інерційні властивості системи (аналогія з масою при поступальному русі).

Очевидно, що для визначення значення I для твердого тіла складної форми і нерівномірної щільності, слід скористатися інтегральним счислением:

I = ∫m(r2*dm).

По суті, формула відображає підсумовування величин Ii для кожної матеріальної точки i.

Момент інерції I є характеристикою не тільки форми і розподілу маси в системі обертання, але також він залежить від розташування осі. Наприклад, багато хто помічав, що обертати металевий стрижень або дерев’яну швабру вздовж осі, що проходить через їх довжину, набагато простіше, ніж уздовж перпендикулярній осі. У другому випадку момент інерції приймає більше значення.

Рівняння моментів для матеріальної точки

Тепер настав час перейти безпосередньо до теми статті. Якщо обертаючий момент M діє протягом часу dt, тоді він призводить до зміни моменту імпульсу на величину dL, тобто:

dL = M*dt.

Ця рівність є диференціальної форми запису рівняння моментів у фізиці. Перенесемо член dt в ліву частину рівності і перепишемо dL в явному вигляді, отримаємо:

dL/dt = M =>

m*dv*r/dt = M.

Згадаймо, що лінійна швидкість в кінематиці пов’язана з кутовою наступним рівністю:

v = ω*r.

Підставляючи його в рівняння моментів, отримуємо:

m*dω*r2/dt = M =>

I*α = M, де α = dω/dt, I = m*r2.

Отримане рівність часто використовується для визначення кінематичних характеристик обертової системи, якщо відомі момент зовнішніх сил M і момент інерції I.

Закон збереження величини L

Рівняння моментів показує, як змінюється момент імпульсу, якщо діє зовнішній момент M. Що буде відбуватися з системою, якщо M виявиться рівним нулю? У такому випадку величина L буде зберігатися. Математична формула для такої ситуації записується наступним чином:

L = const або

L = m*r*v = m*r2*ω = I*ω = const.

Зауважимо, що умова M = 0 має дотримуватися тільки для зовнішніх сил. Внутрішні сили, що створюють момент M, не можуть змінити момент імпульсу системи.

Закон збереження L використовується для повороту штучних супутників в космічному просторі і у фігурному катанні. Так, групуючись різним чином, спортсмен змінює свого значення моменту інерції, що призводить до пропорційного зміни швидкості його кутового обертання.

Приклад завдання

На матеріальну точку масою 2 кг діє сила 10 Н. Знаючи, що радіус обертання матеріальної точки навколо осі становить 0,5 м, а також враховуючи, що сила діє по дотичній до траєкторії, необхідно знайти кутову швидкість обертання точки через 5 секунд після початку руху.

Запишемо рівняння моментів і виразимо прискорення α:

I*α = M =>

α = M/I.

Підставимо тепер вирази для M та I, враховуючи умови задачі маємо:

α = F*r/(m*r2) = F/(m*r).

Оскільки розглянуте рух відбувається з постійним прискоренням α, то для обчислення величини ω підійде наступна формула:

ω = α*t.

Підставляючи в неї отриманий вираз для α, приходимо до кінцевої робочою формулою:

ω = F*t/(m*r).

З урахуванням даних задачі, можна записати відповідь: ω = 50 рад/c. Це значення відповідає практично 8 повним обертів навколо осі в секунду.