Рішення завдання з шестикутною пірамідою

Припустимо, що нам дана правильна піраміда з шестикутним підставою. Відомо, що висота основи піраміди дорівнює 13 див. Знаючи, що довжина її бічного ребра дорівнює 10 см, необхідно обчислити об’єм і висоту правильної шестикутної піраміди.

Малюнок нижче показує, як виглядає правильний шестикутник.

Відстань між будь-якими двома паралельними сторонами називається висотою. Не важко показати, що ця висота ha пов’язана з довжиною сторони фігури наступною формулою:

ha = a*√3

Підставляючи у вираз значення ha, знаходимо, що сторона підстави a дорівнює 7,51 див.

Висоту h фігури можна визначити, якщо розглянути прямокутний трикутник, що знаходиться всередині піраміди і складається з двох катетів (висота піраміди і половина діагоналі шестикутного підстави) і гіпотенузи (бічне ребро). Тоді значення h буде дорівнювати:

h = √(b2 – a2) = √(100 – 56,4) = 6,6 див.

Об’єм піраміди визначається як третя частина від твору висоти фігури на площа її підстави. Площа правильного шестикутника дорівнює:

S6 = n/4*a2*ctg(pi/n) = 6/4*a2*ctg(pi/6) = 3*√3/2*a2 = 3*√3/2*56,4 ≈ 146,53 см2.

Використана для обчислення S6 формула є універсальною для довільного правильного n-кутника.

Для визначення об’єму фігури залишається підставити у відповідну формулу знайдені параметри:

V = 1/3*h*S6 = 1/3*6,6*146,53 = 322,366 см3.

Ми отримали значення висоти піраміди і розрахували її обсяг. Таким чином, поставлена задача вирішена.