В математиці вектор – це напрямлений відрізок певної довжини. У фізиці під векторною величиною розуміють повну характеристику деякої фізичної величини, яка має модулем і напрямком дії. Розглянемо основні властивості векторів, а також приклади фізичних величин, які є векторними.
Скаляри та вектора
Скалярні величини в фізики є параметрами, які можуть бути виміряні і представлені одним числом. Наприклад, температура, маса і об’єм є скалярами, оскільки вони вимірюються числом градусів, кілограм і кубічних метрів відповідно.
У більшості ж випадків виявляється, що число, що визначає скалярну величину, не несе вичерпної інформації. Наприклад, розглядаючи таку фізичну характеристику, як прискорення, буде недостатньо сказати, що воно дорівнює 5 м/с2, оскільки потрібно знати, куди воно направлене, проти швидкості руху тіла, під деяким кутом до цієї швидкості або інакше. Крім прискорення, прикладом векторної величини в фізики є швидкість. Також в цю категорію входять сила, напруженість електричного поля і багато інші.
Згідно з визначенням векторної величини як спрямованого в просторі відрізка, вона може бути представлена у вигляді набору чисел (компонент вектора), якщо її розглядати у певній системі координат. Найчастіше у фізиці та математиці, виникають завдання, які для опису вектора вимагають знання його двох (задачі на площині) або трьох (задачі в просторі) компонентів.
Визначення вектора в n-мірному просторі
В n-мірному просторі, де n – ціле число, вектор буде однозначно визначений, якщо відомі його n компонент. Кожна компонента являє собою координату кінця вектора вздовж відповідної осі координат при умові, що початок вектора знаходиться в початку системи координат n-вимірного простору. В результаті вектор може бути представлений так: v = {a1, a2, a3, …, an}, де a1 – скалярний значення 1-ї компоненти вектора v. Відповідно, в 3-х мірному просторі вектор запишеться як v = {a1, a2, a3}, а в 2-х мірному – v = {a1, a2}.
Як позначається векторна величина? Будь-який вектор в 1-вимірному, 2-мірному і 3-мірному просторі можна представити як спрямований відрізок, що лежить між точками A і B. У цьому випадку він позначається як AB→, де стрілка показує, що мова йде про векторною величиною. Послідовність букв прийнято вказувати від початку вектора до його кінця. Це означає, що якщо координати точок A і B, наприклад, в 3-мірному просторі, дорівнюють {x1, y1, z1} і {x2, y2, z2} відповідно, тоді компоненти вектора AB→ будуть рівні {x2-x1, y2-y1, z2-z1}.
Графічне представлення вектора
На малюнках прийнято зображати векторну величину у вигляді відрізка, на його кінці є стрілка, яка вказує напрям дії фізичної величини, поданням якої вона є. Цей відрізок зазвичай підписують, наприклад, v→ або F→, щоб було зрозуміло, про який характеристиці йде мова.
Графічне представлення вектора допомагає зрозуміти, куди додана і в якому напрямі діє фізична величина. Крім того, багато математичні операції над векторами зручно здійснювати, використовуючи їх зображення.
Математичні операції над векторами
Векторні величини, так само як і звичайні числа, можна складати, віднімати і множити, як один з одним, так і з іншими числами.
Під сумою двох векторів розуміють третій вектор, який виходить, якщо поєднувані параметри розташувати так, щоб кінець першого збігався з початком другого вектора, а потім з’єднати початок першого і кінець другого. Для виконання цього математичного дії розроблені три основних методи:
Що стосується різниці векторних величин, то її можна замінити складанням першого параметра з тим, який протилежний за напрямом другого.
Множення вектора на деяке число A виконується по простому правилу: на це число треба помножити кожну компоненту вектора. У результаті виходить також вектор, модуль якого в A разів більше вихідного, а напрям яких збігається, або протилежно, все залежить від знака числа A.
Ділити вектор або число на нього не можна, а ось ділення вектора на число A аналогічно множення на число 1/A.
Скалярний та векторний добутки
Множення векторів можна виконувати двома способами: скалярно і векторно.
Скалярним добутком векторних величин називається такий спосіб їх множення, результатом якого є одне число, то є скаляр. У матричному вигляді скалярний твір записується як рядок компонента 1-го вектора на стовпець компонент 2-го. У підсумку в n-мірному просторі виходить формула: (A→*B→) = a1*b1+a2*b2+…+an*bn.
У 3-вимірному просторі можна визначити скалярний твір інакше. Для цього потрібно помножити модулі відповідних векторів на косинус кута між ними, тобто (A→*B→) = |A→|*|B→|*cos(θAB). З цієї формули випливає, що якщо вектори спрямовані в одному напрямку, то скалярний добуток дорівнює множенню їх модулів, а якщо вектора перпендикулярні один одному, тоді воно виявляється рівним нулю. Зазначимо, що модуль вектора в прямокутній системі координат визначається як квадратний корінь з суми квадратів компонент цього вектора.
Під векторним твором розуміють таке множення вектора на вектор, результатом якого також є вектор. Його напрям виявляється перпендикулярно кожному з умножаемых параметрів, а довжина дорівнює добутку модулів векторів на синус кута між ними, тобто A→ x B→ = |A→|*|B→|*sin(θAB), де значок “x” означає векторний добуток. У матричному вигляді цей вид твору представляється як визначник, рядками якої є елементарні вектора даної системи координат і компоненти кожного вектора.
Як скалярний, так і векторне твори використовують в математиці і фізиці для визначення багатьох величин, наприклад, площі й обсягу фігур.
Далі у статті наводяться приклади векторних величин у фізиці.
Швидкість і прискорення
Під швидкістю фізики розуміють швидкість зміни місця розташування даної матеріальної точки. Вимірюється швидкість в системі СІ в метрах за секунду (м/с), а позначається символом v→. Під прискоренням розуміють швидкість зміни швидкості. Прискорення вимірюється в метрах в квадратну секунду (м/с2), а зазвичай позначається символом a→. Значення 1 м/с2 говорить про те, що за кожну секунду тіло збільшує свою швидкість на 1 м/с.
Швидкість і прискорення – це векторні величини, які беруть участь у формулах другого закону Ньютона і переміщення тіла як матеріальної точки. Швидкість завжди направлена вздовж напрямку руху, прискорення може бути направлено довільним чином щодо рухомого тіла.
Фізична величина сила
Сила – векторна фізична величина, яка відображає інтенсивність взаємодії між тілами. Позначається вона символом F→, вимірюється в ньютонах (Н). По визначенню, 1 Н – це сила, здатна за кожну секунду часу змінювати швидкість тіла, що має масу 1 кг, 1 м/с.
Ця фізична величина широко застосовується у фізиці, оскільки з нею пов’язані енергетичні характеристики процесів взаємодії. Природа сили може бути самою різною, наприклад, гравітаційні сили планет, сила, яка змушує рухатися автомобіль, пружні сили твердих середовищ, електричні сили, що описують поведінку електричних зарядів, магнітні, ядерні сили, які зумовлюють стабільність атомних ядер, і так далі.
Векторна величина тиск
З поняттям сили тісно пов’язана інша величина – тиск. Під ним у фізиці розуміють нормальну проекцію сили на майданчик, на яку вона діє. Оскільки сила є вектором, то, згідно з правилом множення числа на вектор, тиск також буде векторною величиною: P→ = F→/S, де S – площа. Тиск вимірюється в паскалях (Па), 1 Па – це параметр, при якому перпендикулярна сила в 1 Н діє на поверхню площею 1 м2. Виходячи з визначення, вектор тиску спрямований в тому ж напрямку, що і вектор сили.
В фізиці поняття тиску часто використовується при вивченні явищ у рідинах і газах (наприклад, закон Паскаля або рівняння стану ідеального газу). Тиск тісно пов’язане з температурою тіла, оскільки кінетична енергія атомів і молекул, поданням якої є температура, пояснює природу існування самого тиску.
Напруженість електричного поля
Навколо будь-якого зарядженого тіла існує електричне поле, силовою характеристикою якого є його напруженість. Визначається ця напруженість як сила, що діє в цій точці електричного поля на одиничний заряд, поміщений у цю точку. Позначається напруженість електричного поля буквою E→ і вимірюється в ньютонах на кулон (Н/Кл). Вектор напруженості спрямований уздовж силової лінії електричного поля в її напрямку, якщо позитивний заряд, і проти неї, якщо заряд негативний.
Напруженість електричного поля, створюваного точковим зарядом, можна визначити в будь-якій точці, застосовуючи закон Кулона.
Магнітна індукція
Магнітне поле, як показали в XIX столітті вчені Максвелл і Фарадей, тісно зв’язаний з електричним полем. Так, змінне електричне поле породжує магнітне, і навпаки. Тому обидва види полів описуються в рамках електромагнітних фізичних явищ.
Магнітна індукція описує силові властивості магнітного поля. Магнітна індукція – величина скалярна або векторна? Це можна зрозуміти, знаючи, що вона визначається через силу F→, що діє на заряд q, який пролітає зі швидкістю v→ в магнітному полі, згідно з наступною формулою: F→ = q*|v→ x B→|, де B→ – магнітна індукція. Таким чином, відповідаючи на питання, величина скалярна або векторна – магнітна індукція, можна сказати, що це вектор, який направлений від північного магнітного полюса до південного. Вимірюється B→ в теслах (Тл).
Фізична величина кандела
Ще одним прикладом векторної величини є кандела, яка вводиться в фізику через світловий потік, що вимірюється в люменах, що проходить через поверхню, обмежену кутом в 1 стерадиан. Кандела відображає яскравість світла, оскільки показує щільність світлового потоку.
