Тіло кинули під кутом до горизонту: швидкість, дальність польоту і висота підйому

Рівняння руху по параболічної траєкторії. Дальність польоту

Тіло кинули під кутом до горизонту. Яку відстань він пролетить? Питання дальності польоту стосується зміни координати x. Знайти цю величину можна, якщо проінтегрувати обидві компоненти швидкості за часом. В результаті інтегрування отримуємо формули:

x = v * cos(θ) * t + x0;

y = v * sin(θ) * t – g * t2/2 + y0

Різниця координат x і x0 – це і є дальність польоту. Якщо ж покласти, що x0 = 0, тоді дальність буде дорівнює x, для знаходження якої потрібно знати, скільки часу t тіло буде перебувати в повітрі.

Друге рівняння дозволяє розрахувати цей час за умови, якщо відома величина y0 (висота h, з якою кидають тіло). Коли об’єкт завершить свій рух (впаде на землю), то його координата y звернеться в нуль. Розрахуємо час, коли це станеться. Маємо:

Дивіться також:  Трава адоніс (горицвіт): лікувальні властивості, протипоказання, застосування в народній медицині

v * sin(θ) * t – g * t2/2 + h = 0

Перед нами повне квадратне рівняння. Вирішуємо його через дискриминант:

D = v2 * sin2(θ) – 4 * (-g/2) * h = v2 * sin2(θ) + 2 * g * h;

t = (v * sin(θ) ± √D)/(2 * (-g/2))

Відкидаємо від’ємний корінь. Отримуємо наступне час польоту:

t = (v * sin(θ) + √ (v2 * sin2(θ) + 2 * g * h))/g

Тепер підставляємо це значення в рівняння для дальності польоту. Отримуємо:

x = v * cos(θ) * (v * sin(θ)+√ (v2 * sin2(θ) + 2 * g * h))/g

Якщо тіло кинуте з землі, тобто h = 0, тоді ця формула значно спроститься. І прийме вид:

x = 2 * v2 * cos(θ) * sin(θ)/g = v2 * sin(2 * θ)/g

Останній вираз було отримано з використанням зв’язку між тригонометричними функціями синуса і косинуса (формули приведення).

Оскільки синус має максимальне значення для прямого кута, тоді максимальна дальність польоту досягається, коли тіло кидають (вистрілюють) з поверхні землі під кутом 45°, і ця відстань дорівнює:

x = v2/g

Сторінка: 1 2 3