При вивченні способів вирішення рівнянь другого порядку в шкільному курсі алгебри, розглядають властивості отриманих коренів. Вони в даний час відомі під назвою теореми Вієта. Приклади використання її наводяться в даній статті.

Квадратне рівняння

Рівняння другого порядку являє собою рівність, яке показано на фото нижче.

Тут символи a, b, c є деякими числами, які носять назву коефіцієнтів розглянутого рівняння. Щоб вирішити рівність, необхідно знайти такі значення x, які роблять його справжнім.

Зауважимо, що оскільки максимальне значення ступеня, у яку зводиться ікс, дорівнює двом, тоді число коренів в загальному випадку також дорівнює двом.

Для рішення цього типу рівностей існує кілька способів. У цій статті розглянемо один з них, який передбачає використання так званої теореми Вієта.

Формулювання теореми Вієта

В кінці XVI відомий математик Франсуа вієта які були введені (француз) зауважив, аналізуючи властивості різних коренів квадратних рівнянь, що певні їх комбінації задовольняють конкретним співвідношенням. Зокрема, цими комбінаціями є їх добуток і сума.

Теорема Вієта встановлює наступне: корені квадратного рівняння при їх сумі дають відношення коефіцієнтів лінійного до квадратичним взяте з протилежним знаком, а при їх творі призводять до відношення вільного члена до квадратичним коефіцієнту.

Якщо загальний вигляд рівняння записано так, як це представлено на фото у попередньому розділі статті, тоді математично цю теорему можна записати у вигляді двох рівностей:

• r2 + r1 = -b / a;
• r1 х r2 = c / a.

Де r1, r2 – значення коренів розглянутого рівняння.

Наведені два рівності можна використовувати для вирішення ряду самих різних математичних задач. Використання теореми Вієта у прикладах з рішенням наведені в наступних розділах статті.

Завдання №1: відновіть рівняння

Наведемо наступну задачу на використання теореми Вієта. Приклад рівняння дано наступний: -3,4 * x – 3 * s * x2 + k = 0. Необхідно знайти значення s і k, знаючи, що рішеннями цього рівняння є два числа: -1,2 і 4.

Для початку необхідно визначитися зі значенням коефіцієнтів в цьому виразі. З нього випливає, що a = -3 * s, b = -3,4 і c = k.

Тепер можна використовувати теорему Вієта. Для суми коренів ми отримаємо наступне рівняння: -1,2 + 4=-(-3,4) / (-3 * s), звідки отримуємо, що s = -0,40476 (для обчислення цього виразу рекомендується скористатися калькулятором). Тобто a = -3*s = 1,21429. Для добутку коренів маємо:

(-1,2) * 4 = k / 1,21429, звідки k = -5.82859.

Відновлене рівняння буде відповідати вигляду: -3,4 * x + 1,21429 * x2 – 5,82859=0. Щоб перевірити, чи правильно вирішена задача, і не допущена помилка при її вирішенні необхідно підставити відомі значення коренів у відновлену вираз. Отримуємо: -3,4 * (-1,2) + 1,21429 * (-1,2)2 – 5,82859 = 0,00001 ≈ 0 і -3,4 * (4) + 1,21429 * (4)2 – 5,82859 = 0,00005 ≈ 0.

Як бачимо, отримані рівності дійсно виконуються. Невелика помилка пов’язана з тим, що при відновленні рівняння ми округляли отримані цифри до 5 знаків після коми.

Завдання №2: знайдіть корені рівняння

Рішення квадратних рівнянь теоремою Вієта (приклад див. нижче) можливо здійснити не у всіх випадках. Тобто цей метод не є універсальним, оскільки якщо коефіцієнти рівняння виявляться “незручними”, тоді його використовувати не вийде.

Універсальними способами вирішення цього типу виразу є використання дискримінанта або доповнення до повного квадрата. Тим не менш, важливість теореми Вієта в цьому випадку полягає в тому, що вона дозволяє здогадатися про невідомих коренях, не здійснюючи при цьому складних математичних викладок.

Наприклад, дано вираз наступне: -x2 + 2 * x + 3 = 0. Слід скористатися теоремою Вієта, щоб знайти рішення цієї рівності. Нехай його корінням є числа r1 і r2. Тоді можна записати наступну систему рівнянь:

r1 + r2 = -2 /(-1) = 2;

r1*r2 = 3 / (-1) = -3.

Тепер необхідно здогадатися, сума яких чисел дорівнює двом, а їх добуток буде -3. Очевидно, що такими є числа 3 і -1. Вони і будуть корінням названого рівняння.

Якщо трохи заглибитися в тему, то слід зазначити, що будь-яке рівняння другого порядку, яке легко представляється у вигляді добутку двох множників, може бути вирішено за допомогою обговорюваної теореми. Дійсно, в даному випадку можна записати (3-x) *(x+1), якщо розкрити дужки, то ми отримаємо вихідний вираз.

Завдання №3: сума квадратів

Наведемо ще один приклад теореми Вієта з рішенням. Дано рівняння:

6 * x2 – 13 * x + 11 = 0. Необхідно знайти суму квадратів двох коренів, тобто (r1)2 + (r2)2.

Звичайно, можна вирішити спочатку це рівняння одним із способів, а потім відповісти на запитання задачі. Однак, якщо згадати про теорему Вієта і про властивість квадрата суми, то в цьому немає ніякої необхідності.

Слід згадати, обчислюється як сума двох чисел, зведена в квадрат. Тоді отримуємо, що для знаходження невідомої суми квадратів, необхідно обчислити значення виразу (r1 + r2)2 – 2 * r1 * r2. Скористаємося обома рівностями розглянутої теореми, отримаємо: (13/6)2 – 2 * 11 / 6 = 1,02(7) (7 у періоді).

Таким чином, застосовуючи теорему Вієта, ми зекономили час на рішення рівняння. У загальному випадку властивості коренів можна використовувати для будь-яких завдань, які передбачають обчислення їх різних комбінацій.