Будь-які переміщення тіл у просторі, траєкторія яких є окружністю, передбачають знання не тільки кутової швидкості, але і моменту інерції для опису цього руху. Що таке момент інерції, а також чому він рівний для стрижня і колеса, відповість дана стаття.
Обертання і момент інерції
Фізична величина, яка називається моментом інерції, позначається, як правило, буквою I і з’являється у фізиці при розгляді моменту імпульсу матеріальної точки, яка обертається навколо осі. Момент імпульсу L в скалярної формі записується наступним виразом:
L = r*m*v
Тут r – відстань до осі матеріальної точки, m – її маса, v – лінійна швидкість. Використовуючи зв’язок останньої з кутовий швидкістю ω, отримуємо вираз:
L = r2*m*ω, де ω = v/r
Відповідаючи на питання про те, що таке момент інерції, слід сказати, що це величина I = r2*m. Тобто вона залежить від маси обертового об’єкта, швидко зростає із збільшенням відстані до осі і вимірюється в кг*м2.
Загальний вираз для моменту інерції
Введена в попередньому пункті формула для величини I справедлива, якщо розміри об’єкта пренебрежимо малі в порівнянні з дистанцією до осі r (обертання Землі навколо нашої зірки). Якщо ж лінійні розміри об’єкта стають порівнянними з відстанню r, тоді необхідно для обчислення I користуватися більш загальною формулою, яка надана нижче:
I = ∫m(r2*dm)
З неї видно, що подынтегральное вираз являє собою момент інерції матеріальної точки. Сума всіх моментів від точок з масою dm складає повний момент інерції I для всього тіла.
Ця формула є потужним інструментом для визначення I тіла абсолютно будь-якої форми. Згідно формулі величина I є аддитивной, тобто дозволяє розбити тіло на окремі частини, обчислити їх моментів інерції, а потім скласти отримані результати для отримання величини I тіла.
Фізичний зміст величини I
Знаючи, що таке момент інерції, необхідно сказати кілька слів про те, як його значення відбивається на поведінці і характеристики обертання реальних об’єктів.
Велика величина I призводить до того, що тіло дуже важко розкрутити довкола осі. Для цього доводиться виконати значну роботу і докласти значних зусиль. Прикладом тіла з великим I є автомобільний маховик – важкий металевий диск, жорстко закріплений на коленвале двигуна. Навпаки, якщо величина I системи невелика, то її можна швидко розкрутити і так само швидко і легко зупинити. Прикладом для цього випадку є алюмінієвий обід велосипедного колеса.
Наведене вище обговорення говорить про те, що момент інерції характеризується інерційністю процесу обертання, тобто виконує ту ж саму роль, що і маса тіла при додатку до неї сили з метою додання прискорення.
Відмінність маси і моменту інерції полягає не тільки в одиницях виміру, але і в тому, що останній є функцією обертальної системи, а не тільки геометрії тіла і його маси.
Момент інерції щодо осі обертання, що перетинає центр мас стержня
Розглянемо приклад використання інтегральної формули для вирішення реальних завдань. Насамперед вирішимо просту проблему: є тонкий стрижень довжиною l і масою m. Обертання осі проходить перпендикулярно цього стрижня через центр маси об’єкта. Необхідно визначити величину I для цієї системи.
Випишемо загальну формулу для моменту інерції стержня відносно осі, маємо:
I = ∫m(r2*dm)
Оскільки вісь перпендикулярна розглядуваного тіла, і сам стрижень має нескінченно малу товщину, то можна подумки розрізати його на тонкі шари площинами, паралельними осі. У такому разі отримуємо, що елемент масою dm може бути представлений наступним рівністю:
dm = ρ*S*dr
Тут ρ – щільність матеріалу, S – поперечний переріз, яке є постійною величиною і прагне до нуля (стрижень нескінченно тонкий). Підставимо це вираження в загальну формулу:
I = ρ*S*∫+l/2-l/2(r2*dr)
Зауважимо, що зразкові межі інтегрування по r відповідають умові задачі (вісь ділить стрижень на дві рівні частини). Виконуючи інтегрування, отримуємо:
I = ρ*S*(r3/3)|+l/2-l/2 = m*l2/12, де m = ρ*S*l
Таким чином, момент інерції тонкого стрижня, коли вісь проходить через центр мас, в 12 разів менше такого для матеріальної точки тієї ж маси, що знаходиться на відстані l від осі.
Величина I для стержня з віссю обертання на кінці об’єкта
Розглянемо, що таке момент інерції, в дещо іншій ситуації. Маємо той самий об’єкт (тонкий стрижень), але тепер вісь проходить через кінець. Як зміниться момент інерції в цьому випадку? Застосовуємо той же метод розбиття стрижня і подальшого інтегрування, як у попередньому пункті, отримуємо:
I = ρ*S*∫l0(r2*dr)
Зауважимо, що змінилися лише межі інтегрування. Рішенням буде наступне рівняння:
I = m*l2/3
Вираз показує, що той же самий стрижень буде володіти в 4 рази великим моментом інерції (важче розкрутити), якщо вісь обертання перемістити з його центру на край.
Розглядаючи рішення цих задач, слід зробити важливий висновок: при розрахунку величини I не можна зводити всю масу об’єкта в його центр і виконувати розрахунок, як для матеріальної точки. Обчислення слід проводити тільки з використанням інтегрального вираження.
Значення I для колеса зі спицями
Момент інерції колеса можна визначити, використовуючи властивість адитивності розглянутої величини. Для цього подумки розберемо колесо на окремі частини, які являють собою спиці та обід. Оскільки спиця – це тонкий стрижень, і вісь її обертання проходить через кінець, то для неї справедлива формула, отримана в попередньому пункті.
Що стосується обода колеса, то його момент інерції аналогічний такому для матеріальної точки, що знаходиться на відстані радіуса колеса і має масу обода.
Складаючи моменти інерції всіх елементів, отримуємо:
I = n*mc*r2/3 + mo*r2
Тут mc і mo – маси спиці і обода, відповідно, n – число спиць. Якщо всі спиці важать набагато менше обода, тоді момент інерції колеса буде дорівнює:
I =mo*r2, якщо n*mc<<mo
Знання величини I для колеса є важливим при розрахунку кутовий швидкості і моменту імпульсу обертання коліс будь-якого транспортного засобу (автомобіля, велосипеда).
