Визначення обсягу фігури

Читачі могли помітити, що форма конуса нагадує чимось піраміду, тільки його бічна поверхня є гладкою, а не ребристою, як у піраміди. Ця аналогія має геометричне обгрунтування, оскільки збільшення числа бічних граней піраміди до нескінченності, переводить її в конус. Цей факт дозволяє записати для об’єму конуса точно таку саму формулу, як для об’єму піраміди. Маємо:

V = 1/3*h*So

Зазначимо, що не важливо, яка замкнута крива утворює підставу конуса, також не важливо, є фігура прямий або похилої, формула справедлива у всіх цих випадках.

Для конуса круглого вираз для V набуває конкретний вид:

V = 1/3*pi*r2*h

Завдання на визначення площі конуса через його об’єм

Покажемо, як користуватися записаними формулами.

Припустимо, що обсяг круглого прямого конуса дорівнює 50 см3. Необхідно розрахувати площу його поверхні, якщо радіус r в три рази менше висоти h.

Запишемо формулу для об’єму і зв’язок висоти h з радіусом r у відповідності з умовою задачі:

V = 1/3*pi*r2*h;

h = 3*r.

З цих рівняння отримуємо:

V = 1/3*pi*r2*3*r =>

r = ∛(V/pi) ≈ 2,516 см;

h = 3*∛(V/pi) ≈ 7,547 див.

Отримані значення дозволяють обчислити довжину генератрисы g конуса:

g = √(h2 + r2) = 7,955 див.

Формула для площі поверхні фігури має вигляд:

S = pi*r*(r + g)

Ми визначили всі необхідні величини (r, g). Підставляючи їх чисельні значення рівність, отримуємо відповідь: S = 82,72 см2.