Стереометрія – важливий розділ геометрії, об’єктом вивчення якого є властивості та характеристики фігур у тривимірному просторі. У цій статті розглянемо одну з таких об’ємних фігур. Докладніше познайомимося з питанням, що таке конус.

Фігура конус

Наведемо максимально загальне визначення конуса. Під цією фігурою розуміють поверхню, яка утворена в результаті з’єднання прямими відрізками деякої точки простору з усіма точками даної кривої. При цьому зазначена точка в просторі не повинна перебувати в площині кривої. Наприклад, якщо крива матиме форму параболи, то отримана описаним способом фігура буде називатися параболічним конусом, якщо крива – еліпс, то конус буде еліптичним, і так далі.

Давши геометричне визначення, що таке конус, наведемо фото, яке наочно показує можливі форми цієї фігури.

Подивившись на це фото, багато побачили в ньому форму дитячої шапки, яку носив Буратіно, вафельний стаканчик від морозива у вигляді ріжка або попереджувальний помаранчево-чорний смугастий дорожній конус.

Геометричні елементи, складові конус

Щоб краще розуміти питання, що таке конус, слід привести геометричні назви елементів цієї просторової фігури.

Конус обмежений двома поверхнями. Перша називається основою. Вона являє собою площину, яка обмежена зазначеної вище кривої. Наприклад, це може бути коло або еліпс. Друга поверхня є бічний для фігури і називається конічної. Вона не лежить в одній площині, однак може бути розгорнута у плоску фігуру, про що буде сказано нижче.

Одним з важливих елементів конуса є його вершина. Ця точка обмежує конічну поверхню. З нею з’єднуються всі точки кривої підстави.

Відрізок, який з’єднує вершину з підставою, називається генератрисой, або твірної конуса. У свою чергу, крива, що обмежує підстава, отримала назву директриси, або напрямної фігури.

Площі конічної поверхні і основи в сумі дають загальну площу конуса. Обсяг простору, що обмежують зазначені дві поверхні, є обсягом конуса.

Круглий прямий конус і його лінійні характеристики

Вище було дано загальне визначення, що таке конус. Тим не менш часто на практиці та в геометричних задачах зустрічається конкретний вид цієї фігури – прямий круглий конус. Він зображений нижче на малюнку.

Підставою цієї фігури є коло. Прямим він називається тому, що перпендикуляр, опущений на його підстави з висоти, буде перетинати коло точно в його центрі. Якби ця умова не виконується, тоді можна говорити про похилому конусі.

Лінія, яка з’єднує вершину з центром кола, називається віссю фігури. Вона також є віссю обертання конуса. Дійсно, якщо взяти прямокутний трикутник і почати обертати його навколо одного з катетів, то отримана в результаті обертання фігура буде прямим конусом з круглим підставою. Цей спосіб отримання конуса схематично показано нижче на малюнку.

Видно, що твірна дорівнює довжині гіпотенузи трикутника. Катет, навколо якого здійснювалося обертання, стане висотою для об’ємної фігури, а другий катет дорівнює радіусу конуса (радіус круглого підстави).

Однією з важливих особливостей розглянутої фігури є те, що довжини всіх утворюють для неї дорівнюють один одному. Цей факт дозволяє, користуючись теоремою Піфагора, записати математичну зв’язок між трьома основними лінійними параметрами фігури:

g2 = r2 + h2

Квадрат генератрисы g прямого круглого конуса дорівнює сумі квадратів його радіусу r і висоти h.

Розібравши питання, що таке прямий конус з круглим підставою, покажемо, як можна площа поверхні та об’єм.

Визначення площі поверхні

Як уже зазначалося, поверхня фігури утворена конічною поверхнею і плоским підставою. Чому дорівнює їх площа? З впевненістю відповісти на це питання можна, якщо подивитися на плоску розгортку круглого конуса. Відрізаючи підставу від бічної поверхні, і розрізаючи останню вздовж твірної, ми отримаємо наступний результат.

З визначенням площі кола немає ніяких проблем. Формула для його площі знайома кожному школяреві. Запишемо її:

So = pi*r2

Символ So – площа підстави фігури.

Бічна поверхня конуса на плоскій розгортці представлена круговим сектором, радіус якого дорівнює довжині твірної, а довжина дуги, на яку сектор спирається, дорівнює довжині кола основи. Ці дані дозволяють однозначно визначити площу сектора. Не будемо приводити проміжні викладки одержання формули для площі Sb бічної поверхні конуса. Запишемо кінцевий результат:

Sb = pi*g*r

Оскільки генератриса g завжди більше радіуса r, то площа бічної поверхні фігури буде при будь-яких параметрах перевищувати таку підстави.

Формула для загальної площі приймає вигляд:

S = So + Sb = pi*r*(r + g)

Визначення обсягу фігури

Читачі могли помітити, що форма конуса нагадує чимось піраміду, тільки його бічна поверхня є гладкою, а не ребристою, як у піраміди. Ця аналогія має геометричне обгрунтування, оскільки збільшення числа бічних граней піраміди до нескінченності, переводить її в конус. Цей факт дозволяє записати для об’єму конуса точно таку саму формулу, як для об’єму піраміди. Маємо:

V = 1/3*h*So

Зазначимо, що не важливо, яка замкнута крива утворює підставу конуса, також не важливо, є фігура прямий або похилої, формула справедлива у всіх цих випадках.

Для конуса круглого вираз для V набуває конкретний вид:

V = 1/3*pi*r2*h

Завдання на визначення площі конуса через його об’єм

Покажемо, як користуватися записаними формулами.

Припустимо, що обсяг круглого прямого конуса дорівнює 50 см3. Необхідно розрахувати площу його поверхні, якщо радіус r в три рази менше висоти h.

Запишемо формулу для об’єму і зв’язок висоти h з радіусом r у відповідності з умовою задачі:

V = 1/3*pi*r2*h;

h = 3*r.

З цих рівняння отримуємо:

V = 1/3*pi*r2*3*r =>

r = ∛(V/pi) ≈ 2,516 см;

h = 3*∛(V/pi) ≈ 7,547 див.

Отримані значення дозволяють обчислити довжину генератрисы g конуса:

g = √(h2 + r2) = 7,955 див.

Формула для площі поверхні фігури має вигляд:

S = pi*r*(r + g)

Ми визначили всі необхідні величини (r, g). Підставляючи їх чисельні значення рівність, отримуємо відповідь: S = 82,72 см2.