Лінійні розміри фігури і кут при основі

Лінійні розміри конуса – це набір параметрів, які дозволяють однозначно встановити фігуру в просторі. Ними є наступні:

• радіус основи r;
• висота h;
• генератриса g.

Зазначимо, що для розглянутого виду конуса всі генератрисы дорівнюють один одному і перетинають підстава фігури під одним і тим же кутом.

Крім названих лінійних параметрів, конус характеризується також кутом φ між генератрисой і підставою.

Всі названі характеристики пов’язані один з одним наступними основними рівняннями:

g = √(h2+r2);

g = h/sin(φ);

g = r/cos(φ);

h = r*tg(φ)

Ці рівності можна записати самостійно, якщо розглянути прямокутний трикутник всередині конуса і згадати визначення зазначених тригонометричних функцій.

Площа поверхні

Площа підстави та конічної поверхні є важливою характеристикою конуса. Наочніше і простіше вивчати поверхню фігури не в тривимірному, а в двовимірному просторі. Для цього роблять так звану розгортку фігури. Уявити процес її отримання можна так: припустимо, що є конус з паперу. Відріжемо спочатку його основу уздовж окружності, а потім разрежем конічну поверхню вздовж твірної і розгорнемо її. Ми отримали розгортку конуса, яка показана нижче на малюнку.

Площа всієї розгортки S дорівнює:

S = So + Sb

Де перший доданок (So) є площею кола, другий доданок (Sb) – це площа кругового сектора, що відображає конічну поверхню. Величина So обчислюється за наступною формулою:

So = pi*r2

З круговим сектором справа йде складніше. Він обмежений двома радіусами, довжина яких дорівнює генератрисе g, і однією дугою, що відповідає довжині окружності кола основи. Ця чисельна інформація дозволяє однозначно визначити площу сектора. Не будемо вдаватися у математичні обчислення, а наведемо відразу кінцеву формулу для Sb:

Sb = pi*r*g

Порівняння записаних формул для Sb і So говорить про те, що площа бічної поверхні завжди більше для такої підстави g/r разів.

Формула для загальної площі поверхні виглядає так:

S = pi*r*(r + g)