Прискорення кориолисово: особливості, теореми і опис

При розгляді базового курсу фізики вивчають механічний рух тіл в інерційній системі відліку, в якій є справедливими закони Ньютона. Якщо ж розглядається кілька систем відліку, які рухаються один щодо одного, то завдання переміщення тіл у просторі зводиться до проблеми складного руху. Під час такого типу руху з’являється так зване кориолисово прискорення. У статті розглянемо, що воно собою являє, як виявляється на практиці, і як його обчислюють.

Складний рух тіла

Перш ніж говорити про кориолисовом прискоренні, познайомимося з важливими поняттями, які стосуються механіки складного руху. Під останнім розуміють такий тип переміщення об’єктів, коли вони змінюють по деякому закону свої координати щодо неинерциальной системи відліку, яка, у свою чергу, рухається відносно абсолютної або інерціальної системи.

Будь абсолютне рух тіла (переміщення відносно базової інерціальної системи) розкладається на такі складові:

  • Відносний рух. Воно визначає переміщення тіла відносно неинерциальной системи.
  • Переносний рух. Це переміщення неинерциальной системи відносно інерціальної або базової.

Таким чином, незважаючи на те, що рух називають складним, розрахувати траєкторію переміщення тіла не так вже й складно, якщо знати закон зміни відносної і переносної швидкостей в часі.

Теорема Коріоліса

В 1830-е роки, вивчаючи переміщення тіл (снарядів) в межах земної атмосфери, французький вчений Гаспар Кориолис сформулював теорему, яка нині носить його прізвище. Ця теорема стверджує, що прискорення абсолютна, тобто те, що бачить спостерігач, перебуваючи в інерціальній системі відліку, буде дорівнює векторній сумі трьох прискорень: відносного, переносного та кориолисова прискорення. Перші два види визначаються виключно законами переміщення тіл і систем відліку відносно один одного. У даній статті ми їх розглядати не будемо. Куди більш цікаво розібратися зі змістом і визначенням кориолисова прискорення і пов’язаної з ним силою.

Що таке сила Коріоліса, коли вона виникає?

Припустимо, що у нас є система відліку, яка обертається навколо деякої осі з постійною кутовою швидкістю. Така система, природно, є неинерциальной, оскільки будь-який предмет, що знаходиться в ній, відчуває центростремительное прискорення.

Якщо під обертається системі тіло знаходиться в стані спокою, то відносно спостерігача, що знаходиться в цій системі, на тіло буде діяти фіктивна сила, яка називається відцентровою. Ця сила намагається виштовхнути тіло подалі від осі обертання. Щоб цього не сталося, тіло необхідно зафіксувати яким-небудь способом.

Тепер припустимо, що в обертовій системі тіло почало рухатися. Причому не важливо, куди буде спрямований вектор його швидкості. На таке тіло почне діяти сила, яка буде спрямована перпендикулярно осі обертання системи і вектора швидкості. Вона називається коріолісової силою. Вона призводить до зміщення траєкторії руху тіла. Напрямок зміщення залежить від відносних напрямків лінійної швидкості тіла обертання всієї системи. Сила Коріоліса так само, як відцентрова, є несправжньою, фіктивною, тобто причина її виникнення полягає в інерційних властивостей тел.

Куди спрямована сила Коріоліса?

Щоб відповісти на поставлене у назві пункту питання, розглянемо конкретний простий випадок. Нехай гармата, перебуваючи на широті екватора, робить постріл, направивши своє дуло строго на північ. Якби наша Земля не оберталася з заходу на схід, то снаряд, пролетівши деяку відстань, впав би на тій же довготі, на якій знаходиться гармата. З-за зазначеного обертання планети снаряд упаде на меридіані, який знаходиться правіше (схід), ніж меридіан з гарматою.

Таким чином, направляючи снаряд строго на північ, ми отримаємо деяке відхилення його на схід. Навпаки, якщо б гармата здійснювала постріл з північного полюса вздовж меридіана до екватора, то снаряд б відхилився на захід. Така ж ситуація спостерігається, якщо розглядати політ снаряда в Південній півкулі нашої планети.

У чому причина такої поведінки снаряда? Вона полягає в інерційних властивостей рухомого тіла. Оскільки Земля має форму кулі (насправді — геоїд), то лінійна швидкість точки, розташованої в області екватора (низьких широт) перевищує таку для більш високих широт. Безпосередньо під час пострілу снаряд мав екваторіальної (великий) лінійною швидкістю, спрямованої на схід уздовж поверхні планети. Їли знехтувати опором повітря, то, перебуваючи в польоті в більш високих широтах, снаряд збереже свою початкову, спрямовану на схід, швидкість, і вона буде більшою, ніж швидкість обертання повітряних мас у цих широтах. Останній факт призводить до зміщення снаряда в східному напрямку.

Аналогічні міркування можна привести, якщо снаряд прямує з високих широт до екватора. В цьому випадку його тангенціальна (спрямована на схід) швидкість буде менше лінійної швидкості обертання повітряних мас низьких широт, що проявляється у відхиленні снаряда в західному напрямку.

У відповідності з другим законом Ньютона, будь-яка сила приводить до появи прискорення, яке направлене точно так само, як вектор цієї сили. Знаючи напрям сили Коріоліса, можна легко відповісти на питання, як спрямоване кориолисово прискорення.

Компоненти сили Коріоліса

Вище ми розглянули, коли виникає кориолисово прискорення. сила Коріоліса. Тепер вивчимо питання з геометричної точки зору. Припустимо, що є обертається горизонтально з постійною швидкістю диск навколо вертикальної осі, що проходить через його центр. На цьому диску знаходиться довільне тіло. Так як наш простір є тривимірним, то тіло може рухатися в одному з трьох напрямків:

  • Вертикально вгору або вниз. У цьому випадку відстань до осі не змінюється, тому єдиними силами, що діють на тіло, будуть відцентрова і доцентрова.
  • Радіально, тобто перпендикулярно осі до неї або від неї. У цьому випадку з’являється кориолисова сила, що має тангенціальний характер.
  • Тангенціально, тобто по дотичній до траєкторії обертання. У такій ситуації також виникає кориолисова сила, спрямована по радіусу до осі або від неї в залежності від напрямку тангенціальної швидкості зсуву.

Таким чином, розглядаючи вектор прискорення і кориолисово прискорення, можна сказати, що у разі довільного переміщення тіла під обертається системі воно утворене двома складовими: тангенціальної та радіальної.

Обчислення тангенціальної компоненти

Розглядаючи питання, як знайти прискорення кориолисово тангенціальне, нагадаємо про двох важливих фізичних величинах: момент сили і момент імпульсу. Перший визначається добутком сили на плече відносно осі обертання, другий дорівнює добутку імпульсу матеріальної точки на радіус обертання. Якщо момент зовнішніх сил M, що діють на систему, дорівнює нулю, то момент імпульсу L залишається незмінним, тобто:

dL/dt = 0, якщо M = 0

Звернемося до прикладу в попередньому пункті. Припустимо, що на обертовому диску стоїть людина, і лежить тіло масою m. Чоловік смикає за нитку і переміщує за час dt тіло вздовж радіуса R на відстань dR. Оскільки момент сили дорівнює нулю (плече сили дорівнює нулю), то момент імпульсу тіла при цьому зберігається. Тоді отримуємо:

dL = d(m*v*R) = m*R*dv + m*v*dR = 0 =>

dv = -v*dR/R

Ця рівність показує, на скільки буде змінюватися швидкість (dv), якщо змінити радіус dR. Знак мінус свідчить про те, що збільшення радіуса призводить до зменшення лінійної швидкості, і навпаки.

Оскільки радіус обертання змінився на dR, то лінійна швидкість обертання точок диска для нового положення тіла змінилася на наступну величину:

dv2 = ω*dR

Кориолисово тангенціальне прискорення at визначається різницею змін записаних швидкостей, тобто:

at = dv3/dt = (dv-dv2)/dt = -2*ω*vr, де vr = dR/dt

Тут vr — радіальна швидкість переміщення тіла. Відповідно сила Коріоліса визначається за формулою:

Ft = -2*m*ω*vr

Визначення радіальної компоненти

Вище ми показали, як визначити кориолисово прискорення, якщо тіло смикають за нитку, пересуваючи його вздовж радіуса диска, що обертається. Тепер те ж саме тіло смикнемо за нитку по дотичній до напрямку обертання. В цьому випадку виникає додаткова лінійна тангенціальна швидкість vt. Повна лінійна швидкість тіла дорівнює:

v = ω*R + vt

Для спостерігача, що знаходиться в інерціальній (нерухомої) системі відліку доцентрова сила обчислюється за такою формулою:

F = m*v2/R = m/R*(ω*R + vt)2 = m*(ω2*R + 2*ω*vt + vt2/R)

В отриманому виразі перший доданок відповідає відцентровій силі, третій доданок дорівнює додаткової доцентровою силою, пов’язаної з появою тангенціальної швидкості vt біля тіла. Нарешті, другий доданок — це сила Коріоліса, яка спрямована вздовж радіуса. Формула кориолисова прискорення нормального an запишеться так:

an = 2*ω*vt

Видно, що якщо vt=vr, то обидві компоненти (тангенціальна і радіальна) розглянутого прискорення будуть рівні за величиною.

Кориолисово прискорення рухомої точки на Землі

Ми з’ясували, що якщо тіло наближається до осі обертання, то виникає тангенціальне прискорення, модуль якого визначається за формулою:

at = 2*ω*vr

Радіальна швидкість у випадку, якщо рух розглядається на нашій планеті, залежить від широти θ згідно з наступною формулою:

vr = v*sin(θ)

Якщо тіло переміщається уздовж деякої широти θ, то відстань до осі обертання Землі не змінюється, проте, кориолисова сила все ж виникає, як було встановлено вище, і спрямована вздовж радіуса. Лінійна компонента швидкості при цьому визначається також за формулою вище.

Таким чином, яким би не було рух тіла біля поверхні Землі, кориолисово прискорення можна знайти за формулою:

a = 2*ω*v*sin(θ) .

Де ω — кутова швидкість обертання планети, v — лінійна швидкість тіла, відносно спостерігача на Землі. Напрямок кориолисова прискорення завжди перпендикулярно осі обертання і швидкості (праворуч від неї).

Кількісний розрахунок ефекту Коріоліса

Щоб мати уявлення про величину кориолисова прискорення на нашій планеті, наведемо простий розрахунок. Врахуємо, що тіло рухається на певній висоті від поверхні зі швидкістю 1 м/с. Якщо рух відбувається на широті 45 o, тоді значення прискорення буде дорівнює:

a = 2*7,3*10-5*1*sin(45 o) = 10-4 м/с2

Ця величина практично на 5 порядків менше прискорення вільного падіння.

Ефект Эотвоса (Eötvös effect)

Цей ефект полягає в зміні ваги тіла, коли воно рухається з деякою швидкість вздовж паралелі на Землі. Якщо тіло рухається на схід, то воно стає трохи легше, якщо на захід, то трохи важче, ніж його вага в спокої на поверхні планети.

Причина ефекту полягає в появі радіальної компоненти сили Коріоліса, яка в разі руху на схід спрямована вертикально вгору, а у випадку руху тіла на захід — вертикально вниз.

Сила Коріоліса та природні процеси

Розглянута сила проявляє себе в значному відхиленні від напрямку руху північ-південь повітряних мас і морських течій на Землі.

Наприклад, тепла течія Гольфстрім починається в Мексиканській затоці. У результаті дії сили Коріоліса воно перетинає Атлантичний океан, просуваючись на схід, і проходить вздовж західного узбережжя Європи.

Інший приклад — вітру пасати. Повітряні маси, які рухаються з високих широт Північної і Південної півкуль до екватора, відчувають вплив коріолісової сили, яка додає їм деяку швидкість, спрямовану на захід. Завдяки цим вітрам в Новий час здійснювалися подорожі на вітрильних кораблях з Європи в обидві Америки.