У кінематиці для однозначного визначення характеристик руху тіла в будь-якій точці траєкторії необхідно знати його швидкість та прискорення. Залежність від часу цих величин надає всю необхідну інформацію для обчислення пройденого тілом шляху. Розглянемо докладніше в статті, що таке прискорення тангенціальне і нормальне прискорення.

У фізиці

Перш ніж розглядати для механічного руху прискорення нормальне і тангенціальне прискорення, познайомимося з самим фізичним поняттям. Визначення прискорення є досить простим. У фізиці під ним розуміють характеристику зміни швидкості. Остання є векторною величиною, що визначає швидкість зміни координат рухомого об’єкта в просторі. Швидкість вимірюється в метрах в секунду (відстань, пройдену за одиницю часу). Якщо її позначити символом v, тоді математичне визначення прискорення a буде виглядати так:

a = dv/dt

Ця рівність визначає так зване повне миттєве прискорення. Миттєвим воно називається тому, що характеризує зміну швидкості лише в даний момент часу.

Якщо рух є рівноприскореним, тобто протягом тривалого часу прискорення не змінює свого модуля і напрямки, тоді можна записати наступну формулу для його визначення:

a = Δv/Δt

Де Δt>>dt. Величина a тут називається середнім прискоренням, яке в загальному випадку відрізняється від миттєвого.

Прискорення вимірюється в системі СІ в метрах в квадратну секунду (м/с2).

Траєкторія руху та компоненти повного прискорення

Частіше всього тіла в природі рухаються за кривими траєкторіями. Прикладами такого переміщення є: обертання по своїх орбітах планет, параболічне падіння каменю на землю, поворот автомобіля. У випадку криволінійної траєкторії в будь-який момент часу швидкість спрямована по дотичній до розглянутій точці траєкторії. Як при цьому спрямоване прискорення?

Щоб відповісти на поставлене вище питання, запишемо швидкість тіла в наступній формі:

v = v*ut

Тут ut – одиничний вектор швидкості, індекс t означає, що він спрямований по дотичній до траєкторії (тангенціальна компонента). Символом v позначений модуль швидкості v.

Тепер, слідуючи визначенню прискорення, можна провести диференціювання швидкості за часом, маємо:

a = dv/dt = dv/dt*ut + v*d(ut)/dt

Таким чином, повне прискорення a являє собою векторну суму двох компонентів. Перше і друге доданок називаються нормальним і тангенціальним прискоренням точки. Детальніше розглянемо кожну з цих компонент.

Тангенціальне прискорення

Запишемо ще раз формулу для цієї компоненти повного прискорення:

at = dv/dt*ut

Цей вираз дозволяє описати властивості величини at:

• Вона спрямована точно так само, як і сама швидкість або протилежно їй, тобто по дотичній до траєкторії. Про це свідчить елементарний вектор ut.
• Вона характеризує зміну швидкості за абсолютною величиною, що відображає множник dv/dt.

Ці властивості дозволяють зробити важливий висновок: для прямолінійного руху повне і тангенціальне прискорення – це одна і та ж величина. У разі криволінійного переміщення повне прискорення завжди більше по модулю, ніж тангенціальне. Коли розглядають фізичні задачі на прямолінійний равноускоренное рух, то ведуть мову саме про цю компоненті прискорення.

Нормальне прискорення

Розглядаючи тему швидкості, прискорення тангенціального і прискорення нормального, дамо характеристику останньої величиною. Запишемо формулу для неї:

an = v*d(ut)/dt = v*d(ut)/dL*dL/dt

Щоб записати явно праву частину рівності, скористаємося наступними співвідношеннями:

dL/dt = v;

d(ut)/dL = 1/r

Тут dL – це пройдений тілом шлях за проміжок часу dt, r – радіус кривизни траєкторії. Перший вираз відповідає визначенню швидкості, друге рівність випливає з геометричних міркувань. Користуючись цими формулами, отримаємо кінцевий вираз для нормального прискорення:

an = v2/r

Тобто величина an не залежить від зміни швидкості, як тангенціальна компонента, а визначається виключно її модулем. Нормальне прискорення вздовж нормалі до цієї ділянки траєкторії спрямовано, тобто до центру кривизни. Наприклад, під час руху по колу вектор an спрямований до її центру, тому нормальне прискорення називають часто доцентровим.

Якщо за зміну абсолютної величини швидкості відповідально тангенціальне прискорення, то нормальна компонента відповідальна за зміну вектора швидкості, тобто вона визначає траєкторію переміщення тіла.

Прискорення повне, нормальне і тангенціальне

Розібравшись з поняттям прискорення і з його компонентами, наведемо тепер формулу, яка дозволяє визначити повне прискорення. Оскільки розглянуті компоненти спрямовані під кутом 90 o один до одного, то для визначення абсолютної величини їх векторної суми можна використовувати теорему Піфагора. Формула для повного прискорення має вигляд:

a = √(at2 + an2)

Напрямок величини a можна визначити по відношенню до вектора будь компонент. Наприклад, кут між a і an обчислюється так:

θ = arctg(at/an)

Враховуючи наведену вище формулу для модуля a, можна зробити висновок: при рівномірному русі по колу повне прискорення збігається з доцентровим.

Рішення завдання

Нехай тіло рухається по колу радіусом 1 метр. Відомо, що його швидкість змінюється за наступним законом:

v = 2*t2 + 3*t

Необхідно визначити прискорення тангенціальне і нормальне прискорення в момент t = 4 секунди.

Для тангенціального маємо:

at = dv/dt = 4*t + 3 = 19 м/с2

Для того, щоб знайти модуль нормального прискорення, спочатку слід обчислити значення швидкості в заданий момент часу. Маємо:

v = 2*42 + 3*4 = 44 м/с

Тепер можна скористатися формулою для an:

an = v2/r = 442/1 = 1936 м/с2

Таким чином, ми визначили всі величини, які потрібно знайти для вирішення завдання.