Одними з захоплюючих завдань з математики і фізики, які пропонує вчитель вирішити школярам, є задачі на визначення швидкості течії річки. У цій статті розглянемо особливості вирішення цих завдань і наведемо кілька конкретних прикладів.

Про які завдання піде мова?

Кожен знає, що вода в річці має деякою швидкістю течії. Рівнинні річки (Дон, Волга) течуть відносно повільно, невеликі ж гірські річки відрізняються сильною течією і присутністю водяних воронок. Будь-який плаваючий предмет, який кинутий в річку, буде віддалятися від спостерігача зі швидкістю течії річки.

Люди, які купалися в річці, знають, що проти течії плисти дуже важко. Щоб просунутися на кілька метрів, необхідно докласти набагато більше зусиль, ніж при русі в стоячій воді озера. Навпаки, рух за течією здійснюється практично без будь-яких витрат енергії. Достатньо лише підтримувати тіло на плаву.

Всі ці особливості дозволяють зробити наступний важливий висновок: якщо тіло, що має в стоячій воді швидкість v, буде рухатися в руслі річки, то його швидкість відносно берега буде дорівнює:

• v + u для руху за течією;
• v – u для руху проти течії.

Тут u – швидкість течії.

Якщо тіло рухається під деяким кутом до течії, то результуючий вектор його швидкості буде дорівнює сумі векторів v і u.

Формули, які необхідно запам’ятати

Крім наведеної вище інформації, для вирішення завдань на швидкість течії річки слід запам’ятати кілька формул. Перерахуємо їх.

Швидкість течії є величиною постійною, а ось швидкість тіла (човни, катери, плавця) в загальному випадку може змінюватись як за величиною, так і за напрямом. Для рівномірного прямолінійного руху справедливою формула:

S = v*t

Де S – пройдений шлях, v – швидкість переміщення тіла. Якщо рух відбувається з прискоренням a, тоді слід застосовувати формулу:

S = a*t2/2

Крім цих формул, для успішного вирішення завдань слід вміти користуватися тригонометричними функціями при розкладанні векторів швидкості на складові.

Тепер перейдемо до вирішення конкретних завдань.

Завдання з човном і рибаком

Один рибалка вирішив відправитися на своєму човні без мотора вгору проти течії ріки на відстані 2 кілометри. У стоячій воді він подолав цю відстань за 30 хвилин, але при русі по річці йому знадобилася ціла година. Необхідно знайти, чому дорівнює швидкість течії річки.

Оскільки швидкість води в річці є невідомою величиною, то позначимо її буквою x. Швидкість човна також невідома, однак її можна обчислити, використовуючи значення умови для руху в стоячій воді. Отримуємо для швидкості v човна:

v = S/t1 = 2/0,5 = 4 км/год

Ми знайшли швидкість, з якою рибалка на човні може переміщатися по спокійного озера. Щоб знайти швидкість човна проти течії, необхідно з знайденої величини відняти значення x. Тоді для руху вгору по річці можна записати наступне рівняння:

S = (4 – x)*t2

Висловлюємо звідси значення невідомого параметра, маємо:

x = 4 – S/t2

Залишилося підставити цифри з умови задачі і записати відповідь:

x = 4 – S/t2 = 4 – 2/1 = 2 км/год

Таким чином, швидкість течії в річці в два рази менше такої для човна.

Завдання з моторним човном

Моторний човен робить щодня переходи по річці з пункту A в пункт B Дистанція між A і B становить 7 км. Відомо, що швидкість човна за течією дорівнює 8 км/ч. Чому дорівнює швидкість течії, якщо на шлях вниз по річці човен витрачає на 10 хвилин більше часу, ніж при русі вгору по ній.

В даному випадку ми не знаємо ні швидкість моторного човна, ні швидкість води в річці. Позначимо першу як y, а другу як x. Тоді можна записати наступні чотири рівняння:

x + y = 8;

S/t1 = x + y;

S/t2 = y – x;

t2 – t1 = 1/6

Перше рівняння відображає швидкість човна за течією, друге і третє рівняння пов’язують час і швидкість при русі вниз і вгору по річці відповідно. Четверте рівняння випливає з умови задачі про різниці часів прямого і зворотного шляху між пунктами A і B.

Спочатку знайдемо з цих рівнянь час t1 і t2:

t1 = 7/8 = 0,875 год;

t2 = 1/6 + 7/8 = 1,0417 год

Для визначення швидкості x води в річці віднімемо з другого третє рівняння, отримаємо:

S/t1 – S/t2 = 2*x =>

x = S/2*(1/t1 – 1/t2)

Підставляємо в це рівність розраховані величини t1 і t2, а також відстань між пунктами S, отримуємо, що вода в річці тече зі швидкістю 0,64 км/ч.

Завдання: рух катера під кутом до течії

Тепер розв’яжемо задачу, яка вимагає вміння користуватися тригонометричними формулами.

Катер почав рух від одного берега ріки до іншого під кутом 60o до течією. Швидкість катера у стоячій воді дорівнює 10 км/год, Швидкість течії становить 2 км/год. Необхідно визначити, на яку відстань катер зміститься вздовж берега, прибувши на протилежний бік річки. Ширина русла річки дорівнює 500 метрів.

Дану задачу слід вирішувати, розбивши шлях катери на дві складові: перпендикулярну і паралельну березі. Використовуючи дані задачі, для перпендикулярної складовою шляху можна записати вираз:

v*sin(60o)*t = S1

Де v – швидкість катера, S1 – ширина річки. Підставляючи дані, знаходимо час, який катер перебував у дорозі:

t = S1/(v*sin(60o)) = 0,0577 год

Для обчислення паралельного березі шляху S2 до горизонтальної проекції швидкості катера слід додати швидкість течії, тоді відповідне рівність буде мати вигляд:

S2 = (v*cos(60o) + 2)*t

Підставляючи відомі величини, отримуємо відповідь: катер вздовж берега пройде шлях 404 метра.