Призма є однією з найвизначніших фігур в просторі, властивості якої детально вивчають у шкільному курсі геометрії. Дана стаття носить оглядовий характер різних видів призм і їх характеристик. Трохи докладніше розглядаються характеристики трикутної призми.

Що це таке призма?

Почнемо статтю з визначення призми в геометрії. Під нею вважають фігуру, яка утворена двома однаковими паралельними сторонами, що представляють собою плоскі n-кутники, і n сторонами-параллелограммами. Будь-яка фігура, яка задовольняє записаному визначенням, призмою.

Побудувати призму за допомогою геометричних операцій не представляє ніякої праці. Необхідно лише взяти абсолютно будь-n-кутник і перенести його паралельно самому собі на певний відрізок у просторі.

Оскільки розглянута фігура є полиэдром (складається з багатокутних граней), то геометрично вона не може бути отримана з допомогою обертання, як це можливо для циліндра або конуса.

Будь-яка призма має дві підстави, які представлені рівними n-косинцями і n паралелограмів (іноді вони можуть бути прямокутниками, квадратами або ромбами), сукупність яких утворює бічну поверхню фігури. Також фігура характеризується 2*n рівноправними вершинами і 3*n ребрами, де n – число сторін (вершин) багатокутного підстави.

Як класифікують призми?

Кількість різних призм є нескінченним. Всі вони відрізняються один від одного формою і лінійними розмірами, тим не менш, існує всього дві особливості їх геометричної будови, які покладені в основу сучасної класифікації розглянутого класу фігур. Цими особливостями є наступні:

• тип багатокутника в підставах;
• кути між бічними сторонами і підставами.

Ніякі інші параметри, крім названих вище, не впливають на вигляд призми. Обидві особливості в сукупності призводять до розділення всього класу на чотири типи або види фігур:

• опуклі й увігнуті;
• трикутні чотирикутні, …, n-вугільні;
• прямі і похилі;
• правильні і неправильні.

Розглянемо докладніше кожен з цих видів призм, властивості яких однозначно визначаються наведеною класифікацією.

Опуклі й увігнуті фігури

Про цьому пункті класифікацією багато хто забуває, коли характеризують призми, оскільки у всіх геометричних задачах, як правило, фігурують опуклі фігури. Отже, опуклою називається призма, яка на підставі має опуклий багатокутник. Відповідно, якщо багатокутник буде увігнутим, то призма теж буде увігнутою.

Далі в статті буде показано лише опуклі призми, тут же вкажемо для прикладу, як виглядає увігнута десятиугольная призма у формі зірки.

Зазначимо, що увігнутою призмою з мінімальним числом сторін на підставі буде чотирикутна фігура, в той час як для опуклої призми – це трикутна фігура.

Призми багатокутні

Мабуть, це самий відомий пункт класифікації видів призм. Трикутної, чотирикутної, п’ятикутні і так далі призмами будуть називатися фігури, що мають відповідний многокутник в підставі. Для прикладу на малюнку показано 6 різних призм – починаючи з трикутною і закінчуючи восьмикутної.

Серед усіх видів багатокутних призм лише чотирикутна має власну назву – паралелепіпед. Останній за певних лінійних і кутових параметрів може стати кубом.

Фігури похилі прямі і

В основу класифікації похилих і прямих призм покладені двогранні кути між бічними сторонами фігури і її підставою. Якщо всі названі двогранні кути будуть рівні 90o, то призма буде називатися прямий або прямокутної. Якщо ж хоча б один двогранний кут не буде прямим, то фігуру вважають похилій або косокутної. Нагадаємо, що мова йде тільки про двогранних кутів між підставою і боковими сторонами. Двогранні кути тільки між бічними сторонами не беруться до уваги.

Вище показано, як виглядають і пряма похила шестикутні призми. З малюнка видно, що бічними сторонами прямої призми є прямокутники (квадрати). Різні види прямих призм і похилих можна отримати, якщо міняти число сторін багатокутників в їх основах.

Фігури правильні і неправильні

Говорячи простою мовою, якщо призма є прямою і її підстава являє собою n-кутник правильний, тоді вона теж буде правильною. Всі інші призми, які не задовольняють умовам, є неправильними.

На малюнку вище, на якому були показані шість багатокутних призм, зображені правильні фігури.

Властивості правильних призм зручно вивчати, оскільки для кожної з них існують конкретні формули для визначення їх висоти, площі, об’єму, довжини діагоналей та інших характеристик.

Правильна чотирикутна призма, висота якої дорівнює стороні її підстави, називається кубом.

Трикутні призми

Зупинимося докладніше на трикутних призмах, оскільки вони є найпростішими серед розглянутого класу фігур.

Будь-яка така фігура має 5 граней, 6 рівноправних вершин і 9 ребер. Обсяги трикутних призм розраховуються за формулою, яка справедлива для будь-яких призм. Вона має вигляд:

V = So*h.

Обсяг дорівнює добутку площі однієї підстави на висоту фігури. У разі правильної призми зі стороною a трикутника, ця формула прийме вид:

V = √3/4*a2*h.

Розглядаючи питання видів призм, площа поверхні призм трикутних визначається як сума площ двох однакових трикутників і трьох паралелограмів. Якщо мова йде про правильної призми, тоді буде справедлива наступна формула для площі поверхні S:

S = √3/2*a2 + 3*a*h.

При записі цього виразу використовувався той факт, що в правильній призмі всі бічні сторони дорівнюють один одному і є прямокутниками.