Геометрична фігура призма: визначення, види, формули площі поверхні і об’єму

Стереометрія — важливий розділ геометрії, що вивчає властивості фігур у тривимірному просторі. У цій статті з точки зору стереометрії розглянемо клас геометричних об’єктів, який називається призми, дамо визначення призми і перерахуємо її основні види та характеристики.

Що таке призма?

Перш ніж дати визначення призми, уявімо собі довільний багатокутник на площині. Скориставшись операцією паралельного перенесення цього багатокутника в просторі, ми отримаємо об’ємну фігуру. Ця фігура буде складатися з двох однакових багатокутників і декількох паралелограмів. Це і є призма довільної форми. Малюнок нижче показує, як виглядає шестикутна призма.

Таким чином, можна дати наступне визначення призми: це об’ємна фігура, яка утворена n параллелограммами і двома однаковими n-вугільними сторонами, розташованими в паралельних площинах. Однакові n-кутники називаються підставами фігури, а її паралелограми утворюють бічну поверхню.

Елементи призми та її параметри

Згідно з визначенням призми, можна виділити її грані, вершини і ребра. Кількість граней фігури дорівнює n+2, з яких 2 грані є багатокутними підставами. Кількість вершин дорівнює 2*n. Всі вони є рівноправними і утворені перетином основи і двох бічних паралелограмів. Нарешті, число ребер будь призми становить 3*n, причому 2*n ребер відносяться до підстав, а n ребер є боковими (утворені перетином паралелограмів).

Призма — це досконалий багатогранник, числа ребер, вершин і граней якого пов’язані наступним рівністю:

число ребер = число граней + число вершин — 2.

Латинська літера n — кількість сторін (вершин) плоского багатокутника в підставі.

Лінійними параметрами призми, знання яких дозволяє однозначно визначити її геометричні властивості, є наступні величини:

  • висота призми h;
  • сторони підстави ai, де i = 1,…,n;
  • довжини бічних ребер bi.

Висотою фігури називається довжина перпендикулярного відрізка, що з’єднує підстави. По суті, висота — це відстань між n-косинцями.

Крім лінійних параметрів призми, в задачах геометрії іноді необхідно знати значення її двогранних кутів, щоб однозначно описати властивості. Двогранні кути бувають двох видів:

  • між бічними параллелограммами;
  • між паралелограмом і підставою.

Теорема Піфагора для прямокутного трикутника дозволяє зв’язати значення двогранних кутів з лінійними параметрами фігури.

Які бувають фігури класу призм?

Вище була наведена шестикутна призма. Малюнок нижче показує, як виглядає трикутна призма. Тобто першою класифікацією фігур досліджуваного класу є кількість сторін підстави. Якщо ця кількість буде прагнути до нескінченності, то ми отримаємо циліндричну поверхню.

Другий тип класифікації залежить від форми бічних сторін. Вище було сказано, що вони є параллелограммами. Однак, якщо ці паралелограми одночасно будуть прямокутниками або квадратами, то така фігура називається прямий призмою. В іншому випадку говорять про косокутної або похилій фігурі. Як виглядає пряма і похила чотирикутні призми, можна побачити на малюнку нижче.

Зауважимо, що у прямих призм довжини всіх бічних ребер bi рівні між собою і дорівнювати висоті h.

Третя класифікація призм базується на формі їх підстави. Воно може бути увігнутим або опуклим, відповідно призма називається увігнутій та опуклій.

Нарешті, найважливішою класифікацією є поділ усіх фігур на призми правильні і неправильні. Перші є прямими і утворені підставами з однаковими сторонами і кутами. Серед усіх фігур правильна чотирикутна призма має власну назву — прямокутний паралелепіпед. Якщо у цього паралелепіпеда всі сторони рівні, то він називається кубом.

Правильні призми зручно вивчати в плані таких властивостей, як площа поверхні та об’єм.

Площа поверхні

Для розгляду питання поверхні призми часто вдаються до вивчення її розгортки. Для будь-якої фігури досліджуваного класу розгортка складається з n паралелограмів і 2-х плоских n-кутників. Склавши площі всіх граней, ми отримаємо всю поверхню фігури. Нижче показаний приклад розгортки правильної п’ятикутної призми.

Для правильних призм можна записати загальну формулу для площі їх поверхні S:

S = n/2*a2*ctg(pi/n) + n*a*h.

Перший доданок у виразі є площею обох підстав, другий доданок — це площа бічних граней. Площа S правильної фігури є функцією двох параметрів: сторони підстави a і висоти фігури h.

Обсяг фігури

Об’ємом називається величина, яка відображає властивість речовини заповнювати простір. Незалежно від виду призми, її обсяг розраховується за наступною формулою:

V = So*h.

Тут So — однієї підстави площа.

Якщо призма є правильною, тоді формула для V може бути записана в явному вигляді:

V = n/4*a2*ctg(pi/n)*h.

Як і площа S, для правильної фігури об’єм V також є функцією двох параметрів.