Вміння описувати рух по колу є важливим для проведення розрахунків технічних характеристик обертових валів і шестерень. Цей вид руху також зустрічається в побуті і природі, наприклад обертання планет навколо Сонця і фігуристів під час виступу на спортивних змаганнях. У цій статті розглянемо, як з точки зору фізики можна описати цей вид руху.

Динаміка обертання

Рух по колу – це обертання деякого тіла або матеріальної точки навколо осі. Щоб тіло почало обертатися, необхідно наявність зовнішнього моменту сил, що діє на розглянуту систему. Цей момент визначається за формулою:

M = F*d

Тут F – сила, d – довжина важеля (відстань між віссю і точкою прикладання сили). Момент сили є величиною векторною. Наведена формула використовується для розрахунку модуля M.

Дія моменту M відбивається на системі у вигляді появи кутового прискорення. Тобто система починає обертатися. Головна формула руху по колу записується у вигляді:

M = I*α

Тут I – момент інерції, α – кутове прискорення. Обидві величини мають свої аналоги для лінійного випадку. Якщо з аналогом величини α все зрозуміло, то для моменту інерції I необхідно пояснити. Величина I відображає інерційні властивості обертової системи. Тобто при обертанні вона грає таку ж роль, як звичайна маса тіла.

Зазначимо, що наведений вираз є аналогом другого закону Ньютона для обертання.

Доцентрова і відцентрова сили, прискорення

Процес обертання передбачає наявність певної внутрішньої сили, яка б забезпечувала криволінійний рух тіла. Ця сила називається доцентрової. Згідно назві, вона завжди спрямована від тіла до осі обертання. Оскільки довжина важеля d для неї дорівнює нулю, то до виникнення кутового прискорення α вона не призводить. Тим не менш вона змінює вектор лінійної швидкості, тобто створює прискорення.

Прискорення при русі по колу без зміни модуля лінійної швидкості називається доцентровим. Воно обчислюється за формулою:

ac = v2/r

Де v – лінійна швидкість матеріальної точки, що обертається на відстані r від осі.

Крім доцентрової, можна часто почути і про відцентровій силі. Остання прагне вивести тіло з кругової траєкторії на прямолінійну. Причиною її появи є інерційні властивості обертової системи.

При русі по колу доцентрова і відцентрова сили по модулю дорівнюють один одному, а по напрямку вони протилежні.

Кінематичні рівняння обертання

Рух по колу, як і по прямій лінії, може бути рівномірним або відбуватися з прискоренням. У першому випадку справедлива формула:

θ = ω*t

Тобто центральний кут θ, на який повернеться тіло за час t, прямо пропорційний кутовій швидкості ω. Кут θ виражається в радіанах, а швидкість ω – в радіанах в секунду.

Якщо діє постійний зовнішній момент сил на систему, то рух по колу відбувається з деяким постійним прискоренням α. В такому випадку буде справедливо наступне кинематическое вираз:

θ = α*t2/2

Якщо система спочатку оберталася з деякою швидкістю ω0, а потім стала збільшувати частоту свого обертання з прискоренням α, то, починаючи з моменту часу t, коли з’явилося прискорення, буде справедлива формула:

θ = ω0*t + α*t2/2

Зауважимо, що цей вислів є лінійною комбінацією двох попередніх.

Зв’язок лінійних і кутових кінематичних характеристик

Вище була наведена формула для доцентрового прискорення, записана через лінійну швидкість v. Однак цю формулу можна записати також через відповідну кутову характеристику ω.

Припустимо, що обертове тіло вчинила один оберт по колу за час t. Тоді для лінійної і кутової швидкостей можна записати:

v = 2*pi*r/t;

ω = 2*pi/t

Звідки видно, що модуль лінійної швидкості v в r разів більше модуля величини ω, тобто:

v = ω*r

Це рівність пов’язує кутову та лінійну швидкості. Використовуючи його, можна записати формулу для ac через ω:

ac = ω2*r

Тепер обчислимо у формулі зі швидкостями похідну по часу для лівої і правої частин рівності, отримаємо:

dv/dt = dω/dt*r =>

a = α*r

Це рівність пов’язує спрямований по дотичній до окружності лінійне прискорення a і його кутовий аналог α.

Неважко довести, що центральний кут повороту θ при русі по колу пов’язаний з довжиною її дуги L, наступним виразом:

L = θ*r

Тут, якщо θ дорівнює 2*pi радіан (повний оборот), ми отримаємо довжину окружності L.

Рішення задачі на визначення доцентрової сили

Відомо, що до мотузці довжиною 1 метр прив’язали камінь масою 0,5 кг і стали його обертати з кутовою частотою 3 об/с. Необхідно знайти силу натягу мотузки Fc.

Сила натягу Fc є доцентровою. Її можна обчислити за формулою:

Fc = m*ac

Маса каменю m відома. Центростремительное прискорення ac можна розрахувати знання кутової швидкості ω. З заданої в завданні частотою f величина ω пов’язана виразом:

ω = 2*pi*f

Тоді центростремительное прискорення буде розраховуватися так:

ac = 4*pi2*f2*r

Шукана сила Fc буде дорівнює:

Fc = 4*pi2*f2*r*m

Якщо з умови задачі підставити дані в цю формулу, то вийде значення сили Fc, приблизно рівну 177,5 Н.