Висота піраміди: визначення, формули, розрахунки

Однією з об’ємних фігур, які вивчаються у курсі просторової геометрії, є піраміда. Важливою характеристикою цієї фігури є її висота. У статті дамо визначення висоти піраміди і наведемо формули, через які вона пов’язана з іншими лінійними характеристиками.

Що собою являє піраміда

Під пірамідою розуміють просторову геометричну фігуру, яка виходить в результаті з’єднання всіх кутів багатокутника з однієї точки простору. Малюнок нижче демонструє розташування ліній (ребер) для чотирикутної і п’ятикутні пірамід.

Багатокутна грань фігури називається її підставою. Точка, де всі трикутні грані з’єднуються, називається вершиною. Для визначення висоти піраміди зазначені елементи є важливими.

Висота фігури

Висотою піраміди називається перпендикуляр, який з її вершини опущений на площину підстави. Важливо розуміти, що з кожної вершини, що належить основи фігури, теж можна провести перпендикуляр до відповідної трикутної грані, однак він заввишки не буде. Висота піраміди – це єдиний перпендикуляр, який є однією з важливих її лінійних характеристик.

Кожному школяреві відомо, що будь-яка плоска фігура має геометричним центром (у фізиці йому відповідає центру мас). Наприклад, геометричний центр для довільного трикутника визначається точкою перетину його медіан, для паралелограма – точкою перетину діагоналей. Якщо висота піраміди перетинає її підставу в геометричному центрі, то фігура називається прямою. Піраміда пряма, що має в підставі багатокутник з однаковими сторонами і кутами, називається правильною.

Малюнок вище показує, чим відрізняється неправильна піраміда від правильної. Видно, що висота фігури неправильної лежить за межами її заснування, в той час як у правильної шестикутної піраміди висота знаходиться всередині фігури, перетинаючи її підставу в геометричному центрі.

Важливими властивостями всіх правильних пірамід є наступні:

  • всі бічні грані являють собою рівнобедрені трикутники і рівні один одному;
  • довжини бічних ребер і апофем є однаковими.

Формули для висоти правильної піраміди

Існує чотири основних лінійних характеристики для будь-якої правильної піраміди:

  • сторона основи;
  • бічне ребро;
  • апофема бічній грані;
  • висота фігури.
Дивіться також:  Бекграунд - це що таке?

Всі вони пов’язані математично один з одним. Позначимо довжину сторони основи символом a, висоту – h, апофему – hb і ребро – b. Формули, які ці величини пов’язують, мають індивідуальний вигляд для відповідної n-вугільної піраміди. Наприклад, для правильної чотирикутної піраміди висоту можна визначити за формулами:

h = √(ab2 – a2/4);

h = √(b2 – a2/2).

Ці формули випливають з теореми Піфагора при розгляді відповідних прямокутних трикутників всередині піраміди.

Якщо розглядається постать з трикутним підставою, тоді справедливі наступні формули для висоти правильної піраміди:

h = √(ab2 – a2/12);

h = √(b2 – a2/3).

Рішення завдання з шестикутною пірамідою

Припустимо, що нам дана правильна піраміда з шестикутним підставою. Відомо, що висота основи піраміди дорівнює 13 див. Знаючи, що довжина її бічного ребра дорівнює 10 см, необхідно обчислити об’єм і висоту правильної шестикутної піраміди.

Малюнок нижче показує, як виглядає правильний шестикутник.

Відстань між будь-якими двома паралельними сторонами називається висотою. Не важко показати, що ця висота ha пов’язана з довжиною сторони фігури наступною формулою:

ha = a*√3

Підставляючи у вираз значення ha, знаходимо, що сторона підстави a дорівнює 7,51 див.

Висоту h фігури можна визначити, якщо розглянути прямокутний трикутник, що знаходиться всередині піраміди і складається з двох катетів (висота піраміди і половина діагоналі шестикутного підстави) і гіпотенузи (бічне ребро). Тоді значення h буде дорівнювати:

h = √(b2 – a2) = √(100 – 56,4) = 6,6 див.

Об’єм піраміди визначається як третя частина від твору висоти фігури на площа її підстави. Площа правильного шестикутника дорівнює:

S6 = n/4*a2*ctg(pi/n) = 6/4*a2*ctg(pi/6) = 3*√3/2*a2 = 3*√3/2*56,4 ≈ 146,53 см2.

Використана для обчислення S6 формула є універсальною для довільного правильного n-кутника.

Для визначення об’єму фігури залишається підставити у відповідну формулу знайдені параметри:

V = 1/3*h*S6 = 1/3*6,6*146,53 = 322,366 см3.

Ми отримали значення висоти піраміди і розрахували її обсяг. Таким чином, поставлена задача вирішена.