У цій статті розглянемо аналіз ситуації, коли тіло кинули під кутом до горизонту. Це може бути кидок каменю рукою, постріл снаряду з гармати, запуск стріли з лука і так далі. Всі названі ситуації описуються однаково з математичної точки зору.
Особливість руху під кутом до горизонту
У чому подібність названих вище прикладів з точки зору фізики? Воно полягає в характері діючих на тіло сил. Під час вільного польоту деякого тіла на неї діють дві сили:
- Сила тяжіння.
- Опір повітря.
Якщо маса тіла досить велика, а його форма є загостреною (снаряд, стріла), то опором повітря можна знехтувати.
Таким чином, рух кинутого під кутом до горизонту тіла – це задача, у якій фігурує тільки сила тяжіння. Саме вона і визначає форму траєкторії, яка з хорошою точністю описується параболічною функцією.
Рівняння руху по параболічної траєкторії. Швидкість
Тіло кинули під кутом до горизонту. Як можна описати його рух? Оскільки єдина діюча в процесі польоту тіла сила спрямована вниз, то її горизонтальна складова дорівнює нулю. Цей факт означає, що горизонтальне переміщення об’єкта однозначно визначається початковими умовами (кутом кидка або пострілу θ і швидкістю v). Вертикальне ж переміщення тіла – це яскравий приклад равноускоренного руху, де роль прискорення відіграє постійна g (9,81 м/с2).
Враховуючи сказане вище, можна записати дві компоненти для швидкості летить тіла в момент часу t:
vx = v * cos(θ);
vy = v * sin(θ) – g * t
Як видно, компонента vx від часу не залежить і залишається постійною протягом всієї траєкторії польоту (наслідок відсутності зовнішніх сил у напрямку осі x). Компонента ж vy має максимум в початковий момент часу. А потім починає зменшуватися аж до того, що звертається в нуль в максимальній точці зльоту тіла. Після цього вона змінює знак і в момент падіння виявляється дорівнює модулю початкової компоненти vy, тобто v*sin(θ).
Записані рівняння дозволяють визначити швидкість тіла, кинутого під кутом до горизонту в будь-який момент t. Її модуль дорівнює:
v = √ (vx2 + vy2) = √ (v2 * cos2(θ) + v2 * sin2(θ) – 2 * v* sin(θ) * g * t + g2 * t2) =
= √ (v2 – 2 * v * sin(θ) * g * t + g2 * t2)
Рівняння руху по параболічної траєкторії. Дальність польоту
Тіло кинули під кутом до горизонту. Яку відстань він пролетить? Питання дальності польоту стосується зміни координати x. Знайти цю величину можна, якщо проінтегрувати обидві компоненти швидкості за часом. В результаті інтегрування отримуємо формули:
x = v * cos(θ) * t + x0;
y = v * sin(θ) * t – g * t2/2 + y0
Різниця координат x і x0 – це і є дальність польоту. Якщо ж покласти, що x0 = 0, тоді дальність буде дорівнює x, для знаходження якої потрібно знати, скільки часу t тіло буде перебувати в повітрі.
Друге рівняння дозволяє розрахувати цей час за умови, якщо відома величина y0 (висота h, з якою кидають тіло). Коли об’єкт завершить свій рух (впаде на землю), то його координата y звернеться в нуль. Розрахуємо час, коли це станеться. Маємо:
v * sin(θ) * t – g * t2/2 + h = 0
Перед нами повне квадратне рівняння. Вирішуємо його через дискриминант:
D = v2 * sin2(θ) – 4 * (-g/2) * h = v2 * sin2(θ) + 2 * g * h;
t = (v * sin(θ) ± √D)/(2 * (-g/2))
Відкидаємо від’ємний корінь. Отримуємо наступне час польоту:
t = (v * sin(θ) + √ (v2 * sin2(θ) + 2 * g * h))/g
Тепер підставляємо це значення в рівняння для дальності польоту. Отримуємо:
x = v * cos(θ) * (v * sin(θ)+√ (v2 * sin2(θ) + 2 * g * h))/g
Якщо тіло кинуте з землі, тобто h = 0, тоді ця формула значно спроститься. І прийме вид:
x = 2 * v2 * cos(θ) * sin(θ)/g = v2 * sin(2 * θ)/g
Останній вираз було отримано з використанням зв’язку між тригонометричними функціями синуса і косинуса (формули приведення).
Оскільки синус має максимальне значення для прямого кута, тоді максимальна дальність польоту досягається, коли тіло кидають (вистрілюють) з поверхні землі під кутом 45°, і ця відстань дорівнює:
x = v2/g
Висота тіла, кинутого під кутом до горизонту
Тепер визначимо ще один важливий параметр – висоту, на яку здатний піднятися кинутий об’єкт. Очевидно, що для цього достатньо розглянути тільки зміна координати y.
Отже, тіло кинули під кутом до горизонту, на яку висоту воно злетить? Ця висота буде відповідати рівності нулю компоненти швидкості vy. Маємо рівняння:
vy = v * sin(θ) – g * t = 0
Вирішуємо рівняння. Отримуємо:
t = v * sin(θ)/g
Тепер слід підставити цей час у вираз для координати y. Отримуємо:
y = v * sin(θ) * t – g * t2/2 + h = v2 * sin2(θ)/g – g/2* v2 * sin2(θ)/g2 + h =
= v2 * sin2(θ)/(2 * g) + h
Ця формула свідчить про те, що максимальна висота, на відміну від дальності польоту, виходить, якщо кинути тіло вертикально (θ = 90). У цьому випадку приходимо до формули:
y = v2/(2 * g) + h
Цікаво відзначити, що у всіх наведених у цій статті формулах не фігурує маса тіла. Характеристики параболічної траєкторії від неї не залежать, але тільки у разі відсутності опору повітря.
