Просторова геометрія, курс якої проходять у старших класах шкіл, розглядає характеристики та властивості різних геометричних фігур в тривимірному вимірюванні. Однією з відомих таких фігур є конус. Що це – конус, якими елементами він описується і якими властивостями володіє, на ці питання дасть відповідь стаття.
Конус в геометрії
З точки зору стереометрії, конус – це фігура, утворена в просторі з допомогою з’єднання прямими відрізками деякої точки кривої на площині. Ця крива називається директрисою, або напрямної. Вона обмежує основа фігури. Директриса може представляти собою замкнуту лінію, наприклад еліпс або коло, або ж бути не замкнутою, як гіпербола або параболи. Всі відрізки, які з’єднують директрису із згаданою вище точкою простору, називаються генератрисами, або утворюють. Сукупність утворюють визначає конічну поверхню, а точка, з якої вони виходять, називається вершиною конуса.
Таким чином, конус – це фігура, що має одну вершину, що не має ребер і складається з двох поверхонь (плоска підстава і бічна конічна поверхня). Еліптичний циліндр показано на малюнку вище.
Кругової, або круглий конус
Під словом “круглий” у назві пункту розуміють фігуру, основу якої являє собою коло. На відміну від інших видів конуса, круглу фігуру можна отримати в результаті обертання. Малюнок нижче наочно демонструє цей процес.
Пояснимо коротко, що показує малюнок. Трикутник ABC є прямокутним. Якщо його обертати навколо катета AB, то катет AC опише одну поверхню конуса – підстава, а гіпотенуза BC в результаті обертання призведе до формування конічної поверхні.
Показаний на малюнку конус є не тільки круглим, але також прямим. Остання властивість важливо враховувати при виконанні розрахунків лінійних параметрів, площі та об’єму фігури.
Геометрична фігура конус є прямою, якщо висота h падає точно в центр основи (в даному випадку заввишки є відрізок AB, а центром підстави – точка A). Якщо зазначена умова не виконується, тоді фігуру називають похилій. Похилий і прямий конуси для наочності показано нижче.
Формою конуса з круглою основою мають багато навколишні нас предмети, наприклад морозиво-ріжок, дорожній смугастий конус або воронка для наливання рідини через вузькі отвори.
Далі розглянемо кількісні характеристики прямого конуса з круглою основою.
Лінійні розміри фігури і кут при основі
Лінійні розміри конуса – це набір параметрів, які дозволяють однозначно встановити фігуру в просторі. Ними є наступні:
- радіус основи r;
- висота h;
- генератриса g.
Зазначимо, що для розглянутого виду конуса всі генератрисы дорівнюють один одному і перетинають підстава фігури під одним і тим же кутом.
Крім названих лінійних параметрів, конус характеризується також кутом φ між генератрисой і підставою.
Всі названі характеристики пов’язані один з одним наступними основними рівняннями:
g = √(h2+r2);
g = h/sin(φ);
g = r/cos(φ);
h = r*tg(φ)
Ці рівності можна записати самостійно, якщо розглянути прямокутний трикутник всередині конуса і згадати визначення зазначених тригонометричних функцій.
Площа поверхні
Площа підстави та конічної поверхні є важливою характеристикою конуса. Наочніше і простіше вивчати поверхню фігури не в тривимірному, а в двовимірному просторі. Для цього роблять так звану розгортку фігури. Уявити процес її отримання можна так: припустимо, що є конус з паперу. Відріжемо спочатку його основу уздовж окружності, а потім разрежем конічну поверхню вздовж твірної і розгорнемо її. Ми отримали розгортку конуса, яка показана нижче на малюнку.
Площа всієї розгортки S дорівнює:
S = So + Sb
Де перший доданок (So) є площею кола, другий доданок (Sb) – це площа кругового сектора, що відображає конічну поверхню. Величина So обчислюється за наступною формулою:
So = pi*r2
З круговим сектором справа йде складніше. Він обмежений двома радіусами, довжина яких дорівнює генератрисе g, і однією дугою, що відповідає довжині окружності кола основи. Ця чисельна інформація дозволяє однозначно визначити площу сектора. Не будемо вдаватися у математичні обчислення, а наведемо відразу кінцеву формулу для Sb:
Sb = pi*r*g
Порівняння записаних формул для Sb і So говорить про те, що площа бічної поверхні завжди більше для такої підстави g/r разів.
Формула для загальної площі поверхні виглядає так:
S = pi*r*(r + g)
Обсяг фігури
Конус – це просторова фігура, тому він володіє певним обсягом. Він чисельно відповідає області простору, яка обмежена конічною поверхнею і круглим підставою. Для визначення об’єму конуса користуються таким виразом:
V = 1/3*So*h
Підставляючи в цей вираз у формулу для So, отримуємо:
V = 1/3*pi*r2 *h
Деякі читачі могли помітити, що формула для об’єму конуса відповідає такий для піраміди. Це збіг не є випадковим, оскільки форми цих фігур стають ідентичними, якщо число ребер прямий піраміди збільшувати до безкінечності.
