Завдання на визначення гаданої глибини

Багато хто помічав, що якщо дивитися на дно водойми, то лежать на ньому камені і ростуть водорості здаються близько розташованими до поверхні. Розрахуємо, користуючись законом заломлення, як справжня й уявна глибини відрізняються один від одного. Для цього будемо розглядати невеликі кути падіння, тобто спостерігач дивиться вертикально вниз на дно водойми. Нижче наведено відповідний малюнок.

На малюнку зображений предмет, що лежить на дні. Оскільки два промені, які виходять з однієї точки предмета, для спостерігача будуть перетинатися в точці P, то глибина h = MP і буде уявною.

Щоб знайти h, слід розглянути прямокутний трикутник POM. Відрізок MO дорівнює H*tg(θ1), кут POM дорівнює 90 – θ2. Тепер можна записати:

tg(90-θ2) = h/(H*tg(θ1))

Знаючи, що тангенс дорівнює відношенню синуса до косинусу, і використовуючи формули для тригонометричних функцій, це рівність можна переписати наступним чином:

cos(θ2)/sin(θ2) = cos(θ1)*h/(H*sin(θ1))

Оскільки ми розглядаємо невеликі кути (близькі до вертикалі), то косинуси будуть практично дорівнюють одиницям, тому остання формула спроститься до виду:

h = H*sin(θ1)/sin(θ2)

Але ж відношення синусів дорівнює зворотному відношенню показників заломлення середовищ за законом Снелла, тому запишемо:

h = H*n2/n1

Оскільки промінь рухається з води, то n2 – це показник для повітря, який дорівнює одиниці. Кінцева формула для уявній глибини водойми при вертикальному його розгляді має вигляд:

h = H /n, де n = 1,33

Таким чином, удавана глибина приблизно на 25 % менше реальної.