При розгляді таких властивостей об’ємних фігур, як площа їх поверхні або обсяг, часто з’являється необхідність в знанні відстаней від вершин до граней. У даній статті ми покажемо, як знайти від точки до площини відстань, і наведемо відповідну формулу та методику розрахунку.

Як задається точка і площина в геометрії?

Кожен школяр знає, що таке точка і площину. Як їх можна математично задати? Щоб це зробити, спочатку слід ввести систему координат. Точка у цій системі у тривимірному просторі задається сукупністю трьох чисел. Що стосується площині, то тут ситуація складніша. Розглянемо її детальніше.

Площина являє собою таку сукупність точок, для якої кожен вектор, утворений двома довільними точками цієї сукупності, буде перпендикулярний деякого вектора n. Останній називається нормаллю до площини. Для однозначного завдання площині необхідно знати її нормальний вектор і координати однієї будь-якої точки, яка належить цій площині.

Припустимо, у нас є точка P(x0; y0; z0) і вектор n(A; B; C), тоді кожна точка Q(x ; y ; z ) буде належати площині α, якщо виконується наступна умова:

(x – x0; y – y0 z – z0)*(A; B; C) = 0.

Це рівність говорить про те, що вектор PQ буде перпендикулярний n, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. Розкриваючи записане рівність, приходимо до рівняння:

A*x + B*y + C*z + D = 0, де D = -A*x0-B*y0-C*z0.

Ми отримали рівняння площини загального виду. Застосування цього рівняння дозволяє відповісти на питання: “Як знайти відстань від точки до площини в нарисної геометрії і стереометрії?”

Формула відстані від площини до точки

Припустимо, що нам відомі координати деякої точки P і рівняння площини α:

P = (x0; y0; z0);

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Відстанню від точки до площини називається довжина перпендикуляра, який повинен бути опущений з цієї точки до даної площини. Розрахувати довжину перпендикуляра d можна за наступною формулою:

d = |(A*x0 + B*y0 + C*z0 + D)|/√(A2 + B2 + C2).

Таким чином, якщо нам відомо рівняння в загальному вигляді для площини, в якій лежить грань розглянутої об’ємної фігури, то від обраної вершини розрахувати відстань до цієї межі нескладно, виконавши наведені вище обчислення.

Методика визначення відстані

Записана в пункті вище формула для d дає однозначну відповідь на запитання про те, як знайти відстань від точки до площини в піраміді, призмі або будь-якої іншої просторової фігури. Тим не менш корисно привести також методику обчислення відстані, яка дозволяє глибше розібратися з даною темою.

Запишемо ще раз математичний спосіб завдання точки і площини:

P = (x0; y0; z0);

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Оскільки відстань від P до площині – це довжина перпендикуляра, то поставимо для початку рівняння прямої, яка перпендикулярна зазначеній площині і проходить через P. У векторній формі це рівняння буде мати вигляд:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ*(A; B; C).

Оскільки пряма перетинає площину в єдиній точці, то існує деяке значення λ, при якому координати певної точки прямої будуть задовольняти рівнянню площини. Наприклад, цими координатами (x1; y1; z1). Відстань між двома точками в просторі знайти нескладно, якщо обчислити модуль побудованого на них вектора. В даному випадку маємо:

d = √((x1-x0)2 + (y1-y0)2 + (z1-z0)2).

Очевидно, що для знаходження відстані d нам довелося виконати набагато більше математичних обчислень, ніж у разі використання формули вище. Тим не менш описана методика є надійним інструментом розрахунку відстаней від точки до площини, оскільки вона не передбачає запам’ятовування наведеної формули. Єдине, що слід запам’ятати, це вид рівняння у векторній формі для прямого.

Розрахунок відстані від точки до площини на прикладі трикутної піраміди

Припустимо, що є правильна трикутна піраміда, висота якої дорівнює 15 см, а довжина сторони трикутного підстави становить 9 див. Необхідно розрахувати відстань від вершини фігури, що належить основи, до бічного трикутника.

Як знайти відстань від точки до площини трикутника бічного? Відповісти на це питання можна, якщо знайти рівняння площини, в якій цей трикутник розташовується. Введемо систему координат таким чином, щоб її початок лежало в центрі підстави фігури. Тоді шуканий трикутник перетинає осі координат в наступних точках:

(0; 0; h);

(-a/√3; 0; 0);

(0; a/3; 0).

Крім загальної форми запису рівняння для площини, існує також рівняння площини у відрізках, яке в даному випадку має вигляд:

-√3*x/a + 3*y/a + z/h = 1.

Помноживши ліву і праву частини на a*h, отримаємо:

-√3*h*x + 3*h*y + a*z – a*h = 0.

Відповідні координати вершини, що належить основи, дорівнюють:

(√3/6*a; -a/2; 0).

Тепер можна скористатися формулою для d:

d = |(-√3*h*√3/6*a + 3*h*(a/2) – a*h)|/√((-√3*h)2 + (3*h)2 + a2) =

= |(-a*h/2-3/2*a*h-a*h)|/√(12*h2+a2) = 3*a*h/√(12*h2+a2).

Підставляючи в цей вираз значення a=9 см і h=15 см, отримуємо шукану відстань: d = 7,68 див.