Формула обсягу шестикутної призми правильною. Приклад завдання

Розглядом властивостей і особливостей правильних фігур в тривимірному просторі займається стереометрія. Одним з численних класів об’ємних фігур є призми. У цій статті наведемо формулу обсягу шестикутної призми і покажемо, як її слід використовувати при розв’язанні задачі.

Що таке шестикутна призма?

Коротко відповідаючи на поставлене питання, слід сказати, що будь-яка призма, що має в основі плоский багатокутник з шістьма кутами і шістьма сторонами, називається шестикутної. Цей багатокутник називається підставою фігури. Малюнок нижче показує, як виглядає така призма.

Видно, що фігура, утворена двома однаковими шестикутними підставами, які розташовані в паралельних площинах. З’єднані вони з допомогою шести паралелограмів. Призма має 8 граней, 18 ребер і 12 вершин.

Якщо всі паралелограми, які утворюють бічну поверхню, являють собою прямокутники або квадрати, то фігура буде прямою. У прямої призми відстань між підставами (висота) збігається з довжиною бічного ребра. Якщо підстави прямий фігури є рівносторонніми і равноугольными, то можна говорити про правильної шестикутної призми.

Визначення обсягу

Тепер відповімо на питання, як знайти об’єм призми шестикутної. Формула для об’єм довільної призми має наступний вигляд:

V = So*h

Де So — площа підстави, h — висота фігури. Якщо ми маємо правильну призму з шестикутником в основі, то його площу можна розрахувати, користуючись наступним виразом:

So = 3*√3/2*a2

Де латинською літерою a позначена довжина ребра підстави. Цей вираз можна отримати самостійно, якщо розділити правильний шестикутник на шість однакових рівносторонніх трикутників, а потім скласти їх площі. Довжини сторін трикутників при такому розподілі будуть дорівнюють a.

Враховуючи вираз для So, можна навести формулу об’єму призми правильної шестикутної. Вона буде мати такий вигляд:

V = 3*√3/2*a2*h

Вираз показує, що для визначення величини V правильної призми достатньо знати всього два її лінійних розміру.

Якщо в основі прямої фігури буде знаходитися неправильний шестикутник, тоді слід застосувати геометричний аналіз, щоб визначити його площу So.

Найскладнішим випадком визначення обсягу шестикутної призми є ситуація з похилою фігурою. Для неї висота вже не дорівнює довжині бічного ребра. Щоб її обчислити, слід знати якусь вертикальний кут (або між підставою і бічною гранню, або між ребрами боковим і підстави).

Приклад завдання

Дана правильна шестикутна призма. Відомо, що її найдовша об’ємна діагональ становить 25 див. Кут між нею і площиною основи становить 30o. Чому дорівнює об’єм геометричної фігури?

Щоб скористатися отриманою вище формулою обсягу шестикутної призми, слід обчислити параметри a і h. Найдовша об’ємна діагональ з’єднує протилежні вершини різних підстав. Знання її довжини і кута між нею і підставою дозволяє обчислити висоту і довжину ребра шестикутника з допомогою наступних формул:

a = 25*cos(30o)/2 = 10,825 см;

h = 25*sin(30o) = 12,5 см

Тепер можна обчислити V:

V = 3*√3/2*a2*h = 3*√3/2*10,8252*12,5 = 3805,55 см3

Таким чином, шуканий обсяг дорівнює приблизно 3,8 літра.