Як знайти довжину дуги кола

Формула для знаходження довжини дуги кола досить проста, і дуже часто на важливих іспитах типу ЄДІ зустрічаються такі завдання, які неможливо вирішити без її застосування. Також необхідно знати для здачі міжнародних стандартизованих тестів, наприклад SAT та інших.

Чому дорівнює довжина дуги кола?

Формула виглядає наступним чином:

l = πrα / 180°

Що являє собою кожен з елементів формули:

  • l – довжина дуги кола;
  • π – число Пі (постійна величина, що дорівнює ≈ 3,14);
  • r – радіус цієї окружності;
  • α – величина кута, на який спирається дуга (центральний, а не вписаний).

Як видно, щоб розв’язати задачу, умови повинні бути присутніми r і α. Без цих двох величин довжину дуги знайти неможливо.

Яким чином виводиться ця формула і чому вона так виглядає?

Все досить легко. Стане набагато зрозумілішим, якщо у знаменнику поставити 360°, а в чисельнику спереду додати двійку. Також можна α не залишити дробу, вивести її і написати зі знаком множення. Це цілком можна собі дозволити, так як даний елемент стоїть в чисельнику. Тоді загальний вигляд стане таким:

l = (2πr / 360°) × α

Просто для зручності скоротили 2 і 360°. А тепер, якщо придивитися, то можна помітити дуже знайому формулу довжини всієї окружності, а саме – 2πr. Весь круг складається з 360°, тому ми ділимо отриману міру на 360 частин. Потім ми множимо на число α, тобто на кількість “шматків пирога”, яке нам потрібно. Але всім достеменно відомо, що число (тобто довжина всій окружності) не може ділитися на градус. Що ж робити в такому випадку? Зазвичай, як правило, градус скорочується з градусом центрального кута, тобто з α. Після ж залишаються тільки числа, а в підсумку виходить кінцевий відповідь.

Дивіться також:  Як користуватися "Тім Спік 3"? Рекомендації

Цим можна пояснити те, чому довжина дуги кола знаходиться таким чином і має такий вигляд.

Приклад завдання середньої складності із застосуванням даної формули

Умова: Є коло з радіусом 10 сантиметрів. Градусна міра центрального кута складає 90°. Знайти довжину дуги кола, утворену цим кутом.

Рішення: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

Відповідь: l = 5π

Також можливо, щоб замість градусної заходи давалася б радианная міра кута. Ні в якому разі не варто лякатися, адже цього разу завдання стало набагато легше. Щоб перевести радианную міри в градусну, потрібно дане число помножити на 180° / π. Отже, тепер можна підставити замість α наступну комбінацію: m × 180° / π. Де m – це радіанне значення. А далі 180 і число π скорочуються і виходить абсолютно спрощена формула, яка виглядає наступним чином:

l = mr,

де:

  • l – довжина дуги кола;
  • m – радианная міра кута;
  • r – радіус цієї окружності.