Умова рівноваги важеля. Правило моментів. Прості механізми. Завдання і рішення

З незапам’ятних часів людство використовує різні механізми, які покликані полегшити фізичну працю. Одним з них є важіль. Що він собою являє, в чому полягає ідея його використання, а також як умова рівноваги важеля, розгляду всіх цих питань присвячена дана стаття.

Коли людство стало застосовувати принцип важеля?

Точно відповісти на це питання важко, оскільки прості механізми вже були відомі стародавнім єгиптянам і жителям Месопотамії ще в трехтысячном році до нашої ери.

Одним з таких механізмів є так званий важіль-журавель. Представляв він собою довгу жердину, який розташовувався на опорі. Остання встановлювалася ближче до одного кінця жердини. До кінця, який далі перебував від опорної точки, прив’язували посудину, на інший клали деякий противагу, наприклад, камінь. Система настроювалась таким чином, щоб наповнений наполовину посудину приводив до горизонтального положення жердини.

Важіль-журавель служив для підйому води із колодязя, річки чи іншого поглиблення до рівня, де знаходилася людина. Прикладаючи невелику силу до посудини, людина опускав його до джерела води, посудину наповнювався рідиною, а потім, докладаючи невелике зусилля до іншого кінця жердини з противагою, можна було підняти зазначений посудину.

Легенда про Архимеде і кораблі

Всім відомий давньогрецький філософ із міста Сіракузи, Архімед, який у своїх працях не тільки описав принцип дії простих механізмів (важіль, похила дошка), але і навів відповідні математичні формули. До теперішнього часу залишається знаменитої його фраза:

Дайте мені точку опори, і я зрушу світ!

Як відомо, такої опори ніхто йому не надав, і Земля залишилася на своєму місці. Однак, що дійсно зміг зрушити Архімед, так це корабель. Одна з легенд Плутарха (робота «Паралельні життя») говорить наступне: Архімед у листі своєму другові, царю Гиерону Сіракузького, говорив, що зміг самотужки перемістити скільки завгодно велику вагу, при певних умовах. Гієронім був здивований такою заявою філософа і попросив, щоб він продемонстрував те, про що говорить. Архімед погодився. В один із днів корабель Гієрона, що знаходиться в доці, був завантажений людьми і наповненими водою бочками. Філософ, розташувавшись на деякій відстані від корабля, зміг його підняти над водою, потягнувши за мотузку, прикладаючи при цьому невелике зусилля.

Складові частини важеля

Незважаючи на те, що мова йде про досить простому механізмі, він все ж має певний пристрій. Фізично він складається з двох основних частин: жердина або балка і опора. При розгляді завдань жердину розглядають як об’єкт, що складається з двох (або одного) плеча. Плече — це частина жердини, яка знаходиться відносно опори з одного боку. Велику роль в принципі роботи розглянутого механізму відіграє саме довжина плеча.

Коли розглядають важіль в роботі, то виникає ще два додаткових елементи: прикладена сила і сила протидії їй. Перша прагне привести в рух об’єкт, що створює силу протидії.

Умова рівноваги важеля у фізиці

Познайомившись з пристроєм цього механізму, наведемо математичну формулу, використовуючи яку, можна сказати, яке з плечей важеля і в якому напрямку буде рухатися або, навпаки, весь пристрій буде знаходитися в стані спокою. Формула має вигляд:

F1 * l1 = F2 * l2,

де F1 і F2 — сили дії та протидії, відповідно, l1 і l2 — довжини плечей, до яких прикладені ці сили.

Цей вираз дозволяє дослідити умови рівноваги важеля, що має вісь обертання. Так, якщо плече l1 більше, ніж l2, тоді для урівноваження сили F2 знадобиться менше значення F1. Навпаки, якщо l2 > l1, то для протидії силі F2 потрібно докласти велику F1. Ці висновки можна отримати, якщо переписати вираз вище в наступній формі:

F1 / F2 = l2 / l1.

Як видно, які беруть участь у процесі формування рівноваги сили знаходяться в зворотній залежності від довжини плечей важеля.

У чому полягає виграш і програш при використанні важеля?

З наведених вище формул випливає важливий висновок: з допомогою довгого плеча і малого зусилля можна переміщати об’єкти з величезною масою. Це дійсно так, і багато хто може подумати, що застосування важеля призводить до виграшу в роботі. Але це не так. Робота — це енергетична величина, яка не може бути створена з нічого.

Проаналізуємо роботу простого важеля, що має два лікуючи l1 і l2. Нехай на кінці плеча l2 вміщено вантаж вагою P (F2 = P). На кінець іншого плеча людина докладає силу F1 і піднімає цей вантаж на висоту h. Тепер, обчислимо роботу кожної сили і приравняем отримані результати. Отримаємо:

F1 * x = F2 * h.

Сила F2 діяла уздовж вертикальної траєкторії довжиною h, в свою чергу F1 діяла також вздовж вертикалі, але вже була прикладена до іншого плеча, кінець якого перемістився на невідому величину x. Щоб її знайти, необхідно підставити в останній вираз формулу зв’язку між силами і плечима важеля. Висловлюючи x, маємо:

x = F2 * h / F1 = l1 * h / l2.

Ця рівність показує, якщо l1 > l2, тоді F2 > F1 і x > h, тобто, прикладаючи невелику силу, можна підняти вантаж з великою вагою, але при цьому доведеться перемістити відповідне плече важеля (l1) на більшу відстань. Навпаки, якщо l1 < l2, то F2 < F1 і x < h, тобто вантаж деякого ваги можна підняти на велику висоту h, переміщаючи плече l1 на меншу амплітуду, але при цьому доведеться докласти достатньо велику силу F1. У першому випадку виходить виграш у силі, у другому в дорозі або швидкості.

Таким чином, важіль не дає виграш у роботі, він дозволяє лише перерозподілити її або на користь меншої прикладеної сили, або на користь більшої амплітуди переміщення об’єкта. В обговорюваній темі фізики працює загальний філософський принцип: кожен виграш компенсується деяким програшем.

Види важелів

В залежності від точок прикладання сили і від положення опори розрізняють наступні види цього механізму:

  • Першого роду: точка опори знаходиться між двома силами F1 і F2, тому від довжини плечей буде залежати те, в чому дає виграш такий важіль. Прикладом є звичайні ножиці.
  • Другого роду. Тут сила, проти якої здійснюється робота, розташована між опорою і прикладеним зусиллям. Такий тип конструкції означає, що він завжди буде давати виграш у силі і програш в шляху і швидкості. Його прикладом є тачка садова.
  • Третього роду. Останній варіант, який залишається реалізувати в цій простій конструкції, це положення прикладеного зусилля між опорою і силою протидії. В цьому випадку виходить виграш в дорозі, але програш в силі. Прикладом може служити пінцет.

Поняття про момент сили

Розгляд будь-яких проблем в механіці, які включають поняття осі або точки обертання, здійснюється з допомогою правила моментів сил. Оскільки опора важеля — це теж вісь (точка), навколо якої обертається система, то для оцінки рівноваги цього механізму також використовується момент сили. Під ним розуміється величина у фізиці, рівна добутку плеча на діючу силу, тобто:

M = l * F.

Враховуючи це визначення, умову рівноваги важеля можна переписати в наступному вигляді:

M1 = M2, де M1 = l1 * F1 і M2 = l2 * F2.

Момент M володіє аддитивностью, це означає, що загальний момент сили для розглянутої системи можна отримати шляхом звичайного складання всіх діючих на неї моментів Mi. Однак при цьому слід враховувати їх знак (сила, що викликає обертання системи проти годинникової стрілки, створює позитивний момент +M, і навпаки). З урахуванням сказаного, правило моментів для важеля, що перебуває в рівновазі, виглядатиме так:

M1 — M2 = 0.

Важіль втрачає свою рівновагу, коли M1 ≠ M2.

Де використовується принцип важеля?

Вище вже були наведені деякі приклади використання цього простого і відомого з давніх часів механізму. Тут лише перерахуємо кілька прикладів:

  • Плоскогубці: важіль 1-го роду, який дозволяє створювати величезні зусилля за рахунок невеликої довжини плечей l2, де знаходяться зуби інструменту.
  • Відкривачка кришок банок і пляшок: це важіль 2-го роду, тому він завжди дає виграш у доданому зусиллі.
  • Вудка: важіль 3-го роду, який дозволяє переміщати кінець вудки з поплавцем, грузилом і гачком на великі амплітуди. Програш при цьому в силі відчувається, коли рибалці виявляється важко витягнути рибу з води, навіть якщо її маса не перевищує 0,5 кг.

Сама людина з його суглобами, м’язами, кістками і сухожиллями — це яскравий приклад системи з безліччю різних важелів.

Рішення завдання

Умова рівноваги важеля, розглянуте у статті, використовуємо для вирішення простої задачі. Необхідно обчислити приблизну довжину плеча важеля, докладаючи зусилля до кінця якого, Архімед зміг підняти корабель, як це описує Плутарх.

Для вирішення введемо наступні припущення: до уваги приймемо грецьку трирему 90 тонн водотоннажністю і покладемо, що опора важеля перебувала в 1 метрі від її центру маси. Оскільки Архімед, згідно з легендою, легко зміг підняти корабель, то будемо вважати, що для цього він доклав силу, рівну половині своєї ваги, тобто близько 400 Н (для маси 82 кг). Тоді, застосовуючи умову рівноваги важеля, отримуємо:

F1 * l1 = F2 * l2 => l1 = F2 * l2 / F1 = m * g * l2 / F1 = 90000 * 9,81 * 1/400 ≈ 2,2 км

Навіть якщо збільшити прикладену силу до значення ваги самого Архімеда і наблизити опору ще в два рази, то вийде значення довжини плеча близько 500 метрів, що також є великою величиною. Швидше за все, легенда Плутарха — це перебільшення з метою продемонструвати ефективність важеля, і Архімед в дійсності не піднімав корабель над водою.