Ступінь, властивості і дії зі ступенями, додавання, множення, ділення негативних ступенів, степінь з натуральним показником, правила і формули

Однією з головних характеристик в алгебрі, так і у всій математиці є ступінь. Звичайно, в 21 столітті всі розрахунки можна проводити на онлайн-калькуляторі, але краще для розвитку мізків навчитися робити це самому.

У цій статті розглянемо найбільш важливі питання, що стосуються цього визначення. А саме, зрозуміємо що це взагалі таке і які основні функції, які є властивості в математиці.

Розглянемо на прикладах, як виглядає розрахунок, які основні формули. Розберемо основні види величини і те, чим вони відрізняються від інших функцій.

Зрозуміємо, як вирішувати за допомогою цієї величини різні завдання. Покажемо на прикладах, як зводити в нульову ступінь, ірраціональну, негативну і ін.

Що таке ступінь числа

Що ж мають на увазі під виразом «звести число до степеня»?

Ступенем n числа а є добуток множників величиною а n-разів поспіль.

Математично це виглядає наступним чином:

an = a * a * a * …an.

Причому, ліва частина рівняння буде читатися, як a в степ. n.

Наприклад:

  • 23 = 2 в третій степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
  • 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
  • 54 = 5 в степ. чотири = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
  • 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
  • 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Нижче буде представлена таблиця квадратів і кубів від 1 до 10.

Таблиця ступенів від 1 до 10

Нижче будуть наведені результати зведення натуральних чисел позитивні ступеня – «від 1 до 100».

Ч-ло 2-а ст-нь 3-я ст-нь
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
5 25 125
6 36 216
7 49 343
8 64 512
9 81 279
10 100 1000

Властивості ступенів

Що ж характерно для такої математичної функції? Розглянемо базові властивості.

Вченими встановлено наступні ознаки, характерні для всіх ступенів:

  • an * am = (a)(n+m);
  • an : am = (a)(n-m);
  • (ab ) m=(a)(b*m).

Перевіримо на прикладах:

23 * 22 = 8 * 4 = 32. З іншого боку 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогічно: 23 : 22 = 8 / 4 =2. Інакше 23-2 = 21 =2.

(23)2 = 82 = 64. А якщо по-іншому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Як бачимо, правила працюють.

А як же бути зі складанням і відніманням? Все просто. Виконується спочатку зведення в ступінь, а вже потім додавання і віднімання.

Розглянемо на прикладах:

  • 33 + 24 = 27 + 16 = 43;
  • 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Зверніть увагу: правило не буде виконуватися, якщо спочатку зробити віднімання: (5 — 3)2 = 22 = 4.

А ось в цьому випадку треба обчислювати спочатку додавання, оскільки присутні дії в дужках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Як проводити обчислення в більш складних випадках? Порядок той же:

  • при наявності дужок – починати потрібно з них;
  • потім зведення у ступінь;
  • потім виконувати дії множення, ділення;
  • після додавання, віднімання.

Є специфічні властивості, характерні не для всіх ступенів:

  1. Корінь n-го степеня з числа a у ступеня m запишеться у вигляді: am/n.
  2. При зведенні дробу до степеня: цій процедурі схильні як чисельник, так і її знаменник.
  3. При зведенні твори різних чисел у ступінь, вираз буде відповідати добутку цих чисел в заданій мірі. Тобто: (a * b)n = an * bn.
  4. При зведенні числа в негативну ступ., потрібно розділити на 1 число у тій же ст-ні, але зі знаком «+».
  5. Якщо знаменник дробу перебуває в негативній мірою, то цей вираз буде дорівнює добутку чисельника на знаменник позитивної ступеня.
  6. Будь-яке число в ступені 0 = 1, а в степ. 1 = самому собі.

Ці правила важливі в окремих випадках, розглянемо їх детальніше нижче.

Ступінь з від’ємним показником

Що робити при мінусовій ступеня, тобто коли показник негативний?

Виходячи з властивостей 4 і 5 (див. пункт вище), виходить:

A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

І навпаки:

1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.

А якщо дріб?

(A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.

Степінь з натуральним показником

Під нею розуміють ступінь з показниками, рівними цілим числам.

Що потрібно запам’ятати:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3.150 = 1; (-4)0 = 1…і т. д.

A1 = A, 11 = 1; 21 = 2; 31 = 3…і т. д.

Крім того, якщо (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат буде зі знаком «+». Якщо від’ємне число зводиться в непарну ступінь, то навпаки.

Загальні властивості, так і всі специфічні ознаки, описані вище, також характерні для них.

Дробова ступінь

Цей вид можна записати схемою: Am/n. Читається як: корінь n-го степеня з числа A у ступеня m.

З дробовим показником можна робити, що завгодно: скорочувати, розкладати на частини, зводити в іншу ступінь і т. д.

Степінь з ірраціональним показником

Нехай α – ірраціональне число, а А 0.

Щоб зрозуміти суть ступеня з таким показником, розглянемо різні можливі випадки:

  • А = 1. Результат буде дорівнює 1. Оскільки існує аксіома – 1 на всіх ступенях дорівнює одиниці;
  • А1.

Аг1 Аа Аг2, r1 r2 – раціональні числа;

  • 0А1.

В цьому випадку навпаки: Аг2 Аа Аг1 при тих же умовах, що і в другому пункті.

Наприклад, показник ступеня число π. Воно раціональне.

r1 – в цьому випадку дорівнює 3;

r2 – буде 4.

Тоді, при А = 1, 1π = 1.

А = 2, 23 2π 24, 8 2π 16.

А = 1/2, то (½)4 (½)π (½)3, 1/16 (½)π 1/8.

Для таких ступенів характерні всі математичні операції і специфічні властивості, описані вище.

Висновок

Підведемо підсумки — для чого ж потрібні ці величини, в чому перевага таких функцій? Звичайно, в першу чергу вони спрощують життя математиків і програмістів при вирішенні прикладів, оскільки дозволяють мінімізувати розрахунки, скоротити алгоритми, систематизувати дані та багато іншого.

Де ще можуть придатися ці знання? У будь-якій робочій спеціальності: медицині, фармакології, стоматології, будівництві, техніці, інженерії, конструюванні і т. д.