Ряди динаміки у статистиці, види, аналітичне вирівнювання, показтели аналізу рядів динаміки, відношення рівнів, середні характеристики, приклади розвязання задач

Статистика займається не тільки обробкою накопичених даних, але і знаходженням тенденцій в різних парних показниках, які пов’язані один з одним, що успішно вирішується застосуванням інструменту «ряди динаміки в статистиці».

Класичним прикладом є зміна будь-яких показників за певний проміжок часу, що врешті-решт зводиться не до вивчення попарної залежності (показник — час), а до вивчення змін показників у динаміці.

Поняття про ряди динаміки

Суворе поняття для ряду динаміки позначено в статистиці так.

Динамічні ряди (іншими словами ряд динаміки або часовий ряд) – це розподілені в зростаючому порядку дискретних значень вибраного статистичного параметра за послідовні часові проміжки.

Якщо розглянути динамічний ряд, буде очевидно, що він наповнений даними у форматі y1t1, y2t2, y3t3…yntn. Стосовно до тимчасового ряду, значенням у називатиметься «рівень ряду», при цьому перший член ряду (у1) називається базисним (початковим) рівнем, а уп – кінцевим рівнем. Через позначення t буде позначатися часовий показник, який відповідає кожному з рівнів ряду.

При побудові графічної залежності тимчасового ряду, функція буде мати вигляд t(y), де y (ординат) будуть відкладені значення рівнів ряду (параметр), а по осі абсцис (вісь абсцис) будуть відкладені тимчасові значення параметра t.

Приклад ряду динаміки і його характеристика

Як приклад, розглянемо наступний ряд.

Таблицю можна назвати так: «Річний випуск препарату «Ібупрофен» у 2013-2018гг. в млн. уп.»

Рік 2013 2014 2015 2016 2017 2018
Річний обсяг випуску, млн. уп. 88,1 91,3 96,5 99,3 101,8 100,7

У цьому ряду можна виявити присутність наступних показників:

  • є показник t, якому відповідає рядок «Рік», що містить інформацію про період, за який випускався препарат «Ібупрофен»;
  • є показник, який показує річний обсяг виробництва препарату «Ібупрофен»;
  • показники t і у співвіднесені.

На підставі викладеного, можна зробити висновок, що перед нами знаходиться часовий ряд.

Види рядів динаміки

Залежно від критерію характеризує, існує кілька різновидів динамічних рядів.

По тимчасовій характеристиці розрізняють моментальні та інтервальні:

  1. Для інтервальних рядів характерна результативність. Іншими словами такий ряд може складатися з сумарної характеристики, яка сталася на даний момент часу t (наприклад, скільки продукції вироблено на момент часу, скільки людино-днів зареєстровано за певний період).
  2. Для моментальних рядів характерно миттєве значення досліджуваної характеристики. До таких належить, наприклад, обсяг запасу на необхідний час, витрати часу на часовий інтервал та ін.

При характеристиці за показником t виділяють неповні і повні ряди. Неповними вважаються такі, в яких не дотримується однаковий проміжок між сусідніми значеннями часу. Для повних, такий інтервал дотриманий.

Крім цього, існує класифікація за кількістю показників. Існують ізольовані – під часу аналізується лише один показник і багатовимірні, коли в часі аналіз ведеться для цілого ряду параметрів, які пов’язані між собою одним процесом.

Правила побудови рядів динаміки

Коли проводиться побудова часових рядів, то для них повинні дотримуватися загальні вимоги:

  1. Укладач повинен дотримуватися принципу періодизації розвитку, коли розбивка на тимчасові етапи повинна бути як можна більш однорідною і підкорятися єдиним принципом розвитку. При цьому можуть використовуватися методи паралельної періодизації, багатовимірного статистичного аналізу, а також історичний метод.
  2. Дані, які об’єднуються в багатовимірний часовий ряд, повинні забезпечувати можливість зіставлення між собою. Іншими словами, повинен бути визначений загальний ознака, наприклад, територіальні, одиниці виміру та ін.
  3. Тимчасові інтервали повинні бути гармонійно підібрані у відповідності з варіативністю досліджуваної характеристики. Це означає, що для величини, яка занадто часто змінює своє значення, інтервал повинен бути частіше, а для стабільної величини його слід зробити ширше.
  4. Слід дотримуватися систематизацію по тимчасовій характеристиці – не допускати пропуску тимчасових точок, а якщо вони виникли, то інтерполювати значення всередині пропущеного інтервалу.

Середні характеристики ряду динаміки

Головний показник, що характеризує середнє значення абсолютних показників (y1, y2…yn) – це середній рівень ряду. Якщо основні інтервали не змінювалися, то слід користуватися виразом для розрахунку (де t – кількість рівнів):

Трохи складніше буде виглядати методика розрахунку, якщо були тимчасові перепустки або вони нерівні. Обчислення виконуються через арифметичну зважену:

Тут y1, y2…yn – це абсолютні рівні ряду, а t1, t2…tn – протяжність тимчасових інтервалів.

Для опису зручно користуватися параметром середнього абсолютного приросту, що представляє собою середнє від приросту за рівні проміжки. Коли використані гармонійні інтервали, формула виглядає так:

Для приведеного вираження позначення n – це число приростів за вибраний період.

Також є методика розрахунків з використанням базисного абсолютного приросту при рівності інтервалів для змикання рядів:

Значення m – це кількість рівнів у вибраному періоді.

Показова характеристика — середній темп зростання, він відображає як відбувалася зміна рівнів ряду (корелюючи з одиницями часу). Обчислення для ланцюгових показників виведені через розрахунок середньої геометричної:

В даному виразі n — кількість ланцюгових коефіцієнтів, Кц – самі ланцюгові коефіцієнти.

Коли всі значення рівнів, то вираз значно спрощується:

Іноді потрібно охарактеризувати серединний темп приросту, який розраховується по рівнянню на підставі вже відомих середніх темпів зростання (Тр):

Показники аналізу рядів динаміки

Всього є 5 характеристик, призначені для виконання аналізу:

  • абсолютний приріст – це параметр, який отримується при знаходженні різниці певного рівня базисного (або тим, який слід до нього). Можливий відповідь зі знаком «-». Вирази для розрахунку виглядають так:

  • коефіцієнт зростання – значення, що характеризує, у скільки разів збільшився (або зменшився) конкретно взятий для аналізу рівень порівняно з базисним або будь-яким іншим (наприклад, що йде перед обраним). Формула зводиться до поділу значення аналізованого рівня на значення базисного (відношення рівнів):

  • темп зростання – характеризує відсоткове співвідношення аналізованого показника в порівнянні з базисним. Обчислення виконуються перемножуванням значення коефіцієнта зростання на сто відсотків;
  • темп приросту – відсотковий поріг зростання або зниження значення рівня в порівнянні з базисним. При обрахуванні необхідно з 100 відняти показник темпу зростання;
  • абсолютне значення 1% приросту буде отримано ділення абсолютного приросту на темп приросту. Ці характеристики не відносяться до обов’язкових елементів.

Аналіз сезонних коливань

Якщо взяти для аналізу часовий ряд, в якому зібрані обсяги продажу противірусних препаратів за 5 років, то буде очевидно, що щорічно відбуваються коливання (зменшення або збільшення) продажів, які повторюються. Такі коливання будуть іменуватися сезонними.

Щоб усунути небажаний вплив таких коливань, проводиться аналітичне вивчення, що виконується або за допомогою гармонійного дослідження, або з урахуванням індексу сезонності.

Індекс сезонності — це фактична характеристика того, яка кількість разів аналізований рівень збільшений або зменшений щодо серединного:

Тут Yt – це рівень, передбачуваний до аналізу, а Ȳ — це середній рівень всього ряду.

Більш складний аналіз передбачає виділення гармонійних коливань. Для цього здійснюється вирівнювання по ряду Фур’є (так звані «гармоніки»), і вираховують, які гармоніки найбільш порівнянні з аналізованим поруч. Загальний вигляд ряду Фур’є для двох гармонік виражається формулою:

Індекс сезонності

Для того щоб не обчислювати відносну різницю у відсотках між кожним місяцем в часовому ряді, можна обчислити один параметр – індекс сезонності.

Індекс сезонності розраховується на підставі наступних показників:

  • середнього по анализируемому показником в зазначений часовий проміжок за три і більше року (yi);
  • середнього значення аналізованого показника в межах одного часового періоду (року) – y.

За результатами зіставлення виходить значення, яке так чи інакше співвідноситься з рівнем 100%. Якщо є значуще відхилення в меншу сторону, то це є свідченням присутності сезонного коливання.

Приведення рядів динаміки до однакового основи

Під час роботи з кількома явищами, що описують один процес, може викликати інтерес зіставлення рядів динаміки. З метою коректного зіставлення потрібно приведення до однієї основи. Супутньої операцією є обчислення коефіцієнта випередження або відставання.

До кожного ряду знаходиться базисний рівень і обчислюються темпи зростання і приросту рядів. Для кожного ряду повинен бути обраний аналогічний часовий інтервал.

Порівняння проводиться на підставі відносини базисного темпу зростання (приросту) в аналогічному тимчасової інтервалі. Вирази для розрахунку досить прості:

Аналітичне вирівнювання ряду динаміки

При визначенні будь-яких закономірностей в часових рядах і можливості прогнозування окремих тенденцій, застосовується методика аналітичного вирівнювання. З цією метою проводиться наближення до певної алгебраїчної залежності, найбільш точно описує ряд.

Методика укрупнення інтервалів являє собою перетворення, коли часові проміжки стають більш тривалими, що дозволяє більш точно оцінити загальний вектор тенденції і зрозуміти, який напрямок буде мати залежність.

Методика ковзної середньої заснована на особливості часових рядів погашати випадкові відхилення від середнього рівня. Кожному ланці з використанням простого среднеарифметичнского значення потрібно розраховувати рівень, в якому рандомные коливання зведені до мінімуму.

Методика аналітичного вирівнювання — під конкретний ряд підбирається залежність, яка більш повно відображає залежність алгебри.

Приклади розв’язання задач на тему «Ряди динаміки в статистиці»

Класичним вправою є визначення виду та показників ряду динаміки.

Завдання. Для зазначеного часового ряду вирахувати: його вид, ланцюгової і базисний приріст, темп зростання/приросту, середній темп приросту.

Звітний рік Сумарний обсяг виробництва, млрд. руб.
2014 18
2015 16
2016 17
2017 16
2018 12

Згідно з визначенням, цей ряд динаміки належить до інтервального, оскільки в умові наведено чіткий проміжок часу. Проведемо розрахунок показників.

Абсолютні показники

Абсолютні прирости (за ланцюгового способу):

16 – 18 = — 2 млрд. руб.

17 – 16 = 1 млрд. руб.

16 – 17 = — 1 млрд. руб.

12 – 16 = — 4 млрд. руб.

Абсолютні прирости (за базисним методом):

16 – 18 = -2 млрд. руб.

17 – 18 = — 1 млрд. руб.

16 – 18 = -2 млрд. руб.

12 – 18 = — 6 млрд. руб.

Відносні показники

Ланцюгові темпи зростання:

16/18 х 100 = 88,8%;

17/16 х 100 = 106%;

16/17 х 100 = 94,1%;

12/16 х 100 = 75%.

Базисні темпи зростання:

16/18 х 100 = 88,8%;

17/18 х 100 = 94,4%;

16/18 х 100 = 88,8%;

12/18 х 100 = 66,6%.

Ланцюгові темпи приросту:

-2/18 х 100 = -11,1%;

1/16 х 100 = 6,25%;

-1/17 х 100 = -5,88%;

4/16 х 100 = 25%.

Базисні темпи приросту:

-2/18 х 100 = -11,1%

1/18 х 100 = 5,55%

-2/18 х 100 = -11,1%

-6/18 х 100 = -33,3%

Середній рівень часового ряду:

(18 + 16 + 17 + 16 + 12) / 5 = 15,8.

Середньорічний абсолютний приріст:

(12 — 18) / (5 — 1) = -1,5 млрд. руб.

Середньорічний темп приросту:

90.36 – 100 = -9.64%.

Таким чином часові ряди займають важливе місце серед статистичних об’єктів.

Основна їх перевага полягає в широкому практичному застосуванні, що дозволяє використовувати ряди динаміки для спостережень за фізичними величинами та економічними показниками. Важливо знати про нюанси, які допоможуть правильно проаналізувати такі ряди.