Як точна кількісна наука, фізика не обходиться без набору дуже важливих постійних, що входять в якості універсальних коефіцієнтів рівняння, що встановлюють зв’язок між тими чи іншими величинами. Це фундаментальні константи, завдяки яким подібні співвідношення набувають інваріантність і здатні пояснювати поведінку фізичних систем на різному масштабі.

До числа таких параметрів, що характеризують властиві матерії Всесвіту властивості, відноситься і постійна Больцмана – величина, що входить у ряд найважливіших рівнянь. Однак перш ніж звертатися до розгляду її особливостей і значення, не можна не сказати кілька слів про вченого, чиє ім’я вона носить.

Людвіг Больцман: наукові заслуги

Один з найбільших вчених XIX століття, австрієць Людвіг Больцман (1844-1906) вніс істотний внесок у розвиток молекулярно-кінетичної теорії, ставши одним з творців статистичної механіки. Був автором ергодичної гіпотези, статистичного методу в описі ідеального газу, основного рівняння фізичної кінетики. Багато працював над питаннями термодинаміки (H-теорема Больцмана, статистичний принцип для другого початку термодинаміки), теорії випромінювання (закон Стефана – Больцмана). Також торкалися у своїх роботах деякі питання електродинаміки, оптики та інших розділів фізики. Його ім’я увічнено в двох фізичні константи, мова про яких піде нижче.

Людвіг Больцман був переконаним і послідовним прихильником теорії атомно-молекулярної будови речовини. Протягом багатьох років він змушений був боротися з нерозумінням і неприйняттям цих ідей в науковому співтоваристві того часу, коли багато фізики вважали атоми і молекули зайвої абстракцією, в кращому випадку умовним прийомом, службовцям для зручності розрахунків. Болісне захворювання і нападки консервативно налаштованих колег спровокували у Больцмана важку депресію, не винісши якої, видатний вчений покінчив з собою. На могильному пам’ятнику, над бюстом Больцмана, як знак визнання його заслуг, вибито рівняння S = k∙logW – один з результатів його плідної наукової діяльності. Константа k у цьому рівнянні – постійна Больцмана.

Енергія молекул і температура речовини

Поняття температури служить для характеристики ступеня нагретости того чи іншого тіла. У фізиці застосовується абсолютна шкала температур, в основу якої покладено висновок молекулярно-кінетичної теорії про температуру як міру, що відбиває величину енергії теплового руху частинок речовини (мається на увазі, звичайно, середня кінетична енергія безлічі частинок).

Як прийнятий в системі СІ-джоуль, так і ерг, що використовується в системі СГС, – занадто великі одиниці для вираження енергії молекул, так і практично було дуже важко вимірювати температуру подібним чином. Зручною одиницею температури є градус, а вимірювання проводиться опосередковано, через реєстрацію змінюються макроскопічних характеристик речовини – наприклад, обсягу.

Як співвідносяться енергія і температура

Для розрахунку станів реального речовини при температурах і тисках, близьких до нормальних, з успіхом використовується модель ідеального газу, тобто такого, розмір молекули якого багато менше обсягу, займаного деякою кількістю газу, а відстань між частинками значно перевищує радіус їх взаємодії. Виходячи з рівняння кінетичної теорії, середня енергія таких частинок визначається як Еср = 3/2∙kT, де E – кінетична енергія, T – температура, а 3/2∙k – коефіцієнт пропорційності, введений Больцманом. Число 3 тут характеризує кількість ступенів свободи поступального руху молекул у трьох просторових вимірах.

Величина k, яку згодом на честь австрійського фізика назвали константу Больцмана, що показує, яку частину джоуля або ерга містить в собі один градус. Іншими словами, її значення визначає, наскільки збільшується статистично, в середньому, енергія теплового хаотичного руху однієї частинки одноатомного ідеального газу при підвищенні температури на 1 градус.

У скільки разів градус менше джоуля

Чисельне значення цієї константи можна отримати різними способами, наприклад, через вимірювання абсолютної температури і тиску, використовуючи рівняння ідеального газу, або з застосуванням моделі броунівського руху. Теоретичне виведення даної величини на сучасному рівні знань не представляється можливим.

Постійна Больцмана дорівнює 1,38 × 10-23 Дж/К (тут К – кельвін, градус абсолютної температурної шкали). Для колективу частинок в 1 моль ідеального газу (22,4 літра) коефіцієнт, що зв’язує енергію з температурою (універсальна газова постійна), виходить множенням на константу Больцмана на число Авогадро (кількість молекул в молі): R = kNA, і становить 8,31 Дж/(моль∙кельвін). Однак, на відміну від останньої, константа Больцмана має більш універсальний характер, оскільки входить і в інші важливі співвідношення, а також сама служить для визначення ще однієї фізичної постійною.

Статистичне розподіл енергій молекул

Оскільки стани речовини макроскопічного порядку являють собою результат поведінки великої сукупності частинок, вони описуються за допомогою статистичних методів. До останніх належить і з’ясування того, як розподіляються енергетичні параметри молекул газу:

• Максвелловское розподіл кінетичних енергій (і швидкостей). Воно показує, що в газі, що перебуває в стані рівноваги, більшість молекул має швидкостями, близькими до деякої найбільш ймовірної швидкості v = √(2kT/m0), де m0 – маса молекули.
• Больцмановское розподіл потенційних енергій для газів, що знаходяться в полі будь-яких сил, наприклад гравітації Землі. Воно залежить від співвідношення двох чинників: тяжіння до Землі і хаотичного теплового руху частинок газу. У результаті чим нижче потенційна енергія молекул (ближче до поверхні планети), тим вище їх концентрація.

Обидва методу статистичних об’єднуються в розподіл Максвелла – Больцмана, що містить експоненціальний множник e–E/kT, де E – сума кінетичної і потенційної енергій, а kT – вже відома нам середня енергія теплового руху, керована постійної Больцмана.

Константа k і ентропія

У загальному сенсі ентропію можна охарактеризувати як запобіжний незворотності термодинамічного процесу. Ця незворотність пов’язана з розсіюванням – дисипацією енергії. При статистичному підході, запропонованому Больцманом, ентропія є функцією кількості способів, якими може бути реалізована фізична система без зміни її стану: S = k∙lnW.

Тут постійна k задає масштаб зростання ентропії зі збільшенням цієї кількості (W) варіантів реалізації системи, або мікростанів. Макс Планк, який привів цю формулу до сучасного вигляду, і запропонував дати константі k ім’я Больцмана.

Закон випромінювання Стефана – Больцмана

Фізичний закон, що встановлює, як енергетична світність (потужність випромінювання на одиницю поверхні) абсолютно чорного тіла залежить від його температури, має вигляд j = σT4, тобто тіло випромінює пропорційно четвертого ступеня своєї температури. Цей закон використовується, наприклад, в астрофізиці, так як випромінювання зірок близьке за характеристиками до чернотельному.

У зазначеному співвідношенні присутня ще одна константа, також керує масштабом явища. Це постійна Стефана – Больцмана σ, яка дорівнює приблизно 5,67 × 10-8 Вт/(м2∙К4). Розмірність її включає кельвины – значить, ясно, що і тут бере участь константа Больцмана k. Дійсно, величина σ визначається як (2π2∙k4)/(15c2h3), де c – швидкість світла, h – постійна Планка. Так що больцмановская константа, поєднуючись з іншими світовими постійними, утворює величину, знову-таки зв’язує між собою енергію (потужність) і температуру – в даному випадку стосовно до випромінювання.

Фізична сутність константи Больцмана

Вище вже зазначалося, що постійна Больцмана відноситься до числа так званих фундаментальних констант. Справа не тільки в тому, що вона дозволяє встановити зв’язок характеристик мікроскопічних явищ молекулярного рівня з параметрами процесів, спостережуваних в макросвіті. І не тільки в тому, що ця константа входить в ряд важливих рівнянь.

В даний час невідомо, чи існує який-небудь фізичний принцип, на основі якого вона могла б бути виведена теоретично. Іншими словами, ні з чого не випливає, що значення цієї константи має бути саме таким. Ми могли б в якості міри відповідності кінетичної енергії частинок використовувати інші величини і інші одиниці замість градусів, тоді чисельне значення константи було б іншим, але вона залишилася б постійною величиною. Поряд з іншими фундаментальними величинами такого роду – граничною швидкістю c, постійної Планка h, елементарним зарядом e, гравітаційної сталої G, – наука приймає константу Больцмана як даність нашого світу і використовує для теоретичного опису протікають в ній фізичних процесів.