Момент інерції циліндра суцільного і порожнистого щодо різних осей. Приклад завдання

Як відомо, маса в динаміці поступального руху відіграє важливу роль, визначаючи інерційні властивості рухомих тел. У динаміці обертання замість маси користуються моментом інерції. Розглянемо у статті, що це за величина і як визначається момент інерції циліндра відносно осі.

Що таке момент інерції?

Цю величину зазвичай позначають буквою I. Для матеріальної точки математична формула моменту інерції записується так:

I = m*r2.

Де r — відстань до осі обертання від точки масою m. З формули зрозуміло, що одиницею вимірювання величини є кілограми на квадратний метр (кг*м2).

Якщо тіло має складну форму і його об’ємна щільність є змінною, тоді для визначення I слід використовувати таке інтегральне вираження:

I = ∫m(r2*dm) = ∫V(r2*ρ*dV).

Де dm — це елементарна маса, що знаходиться від осі обертання на відстані r.

Таким чином, момент інерції визначає розподіл матерії в тілі складної форми відносно певної осі обертання системи.

Суцільний циліндр і головна вісь

Момент інерції суцільного циліндра може бути обчислений навколо абсолютно будь осі з використанням інтегрального виразу, записаного в попередньому пункті. Тут розглянемо ситуацію, коли циліндр масою M, радіусом R і висотою обертається навколо головної осі. Остання являє собою пряму, паралельну генератрисе фігури і проходить через центри її круглих підстав.

Не будемо вдаватися в подробиці математичних обчислень за інтегральною формулою, а наведемо відразу кінцевий вираз:

I1 = 1/2*M*R2.

Ми бачимо, що чим більше маса циліндра і його радіус, тим більше момент інерції I1. В той же час ця величина не залежить від висоти фігури L, тобто момент інерції тонкого диска можна обчислити також за цією формулою.

Відзначимо, що якщо всю масу циліндра зібрати в одну матеріальну точку, що знаходиться від осі обертання на відстані радіуса R, то для неї момент інерції виявиться в два рази більше, ніж для суцільного циліндра.

Однорідний циліндр і перпендикулярна генератрисе вісь

Тепер візьмемо однорідний циліндр з прикладу вище і перегорнемо його на бік. Почнемо обертати об’єкт навколо осі, яка проходить через його центр мас, але вже перпендикулярна генератрисе (головної осі). Чому дорівнює момент інерції однорідного циліндра в даному випадку?

Як і в прикладі вище, тут також обмежимося наведенням відповідного виразу. Воно буде мати наступний вигляд:

I2 = 1/4*M*R2 + 1/12*M*L2.

Момент інерції I2 має більш складну залежність від параметрів циліндра, ніж I1, оскільки він визначається не тільки масою і радіусом, але і висотою фігури. Зауважимо, що два складових цієї формули являють собою два крайніх випадки:

  • Якщо циліндр занадто маленьку висоту має, то ми отримуємо диск, який, обертаючись навколо осі, що проходить через його діаметр, матиме момент 1/4*M*R2.
  • Якщо радіус циліндра прагне до нуля, то аналізований об’єкт перетвориться на стрижень, і його момент інерції стане рівним 1/12*M*L2.

Порожнистий циліндр

Вище ми розглянули, як розраховувати момент інерції обертового циліндра і однорідного. Тепер припустимо, що висота циліндра і його маса залишилися тими самими, проте він став порожнистим, тобто, має два радіуса: зовнішній R1 і внутрішній R2.

Застосування тієї ж інтегральної формули дозволяє отримати вираз для моменту інерції порожнистого циліндра, що обертається навколо своєї головної осі. Відповідна формула виглядає так:

I3 = 1/2*M*(R12+R22).

Цей вираз дозволяє зробити важливий висновок: при однакових масах порожнистого та суцільного циліндрів перший володіє великим моментом інерції. Цей факт пов’язаний з тим, що велика частина маси порожнього циліндра знаходиться далі від осі обертання, а як видно з формул, від радіуса вивчається величина зростає квадратично.

Де використовуються знання величин I для циліндрів?

Мабуть, основною областю застосування викладеної вище теорії є автомобільна промисловість. Зокрема, колінчастий вал автомобіля забезпечений важким суцільним маховиком, мають циліндричну форму. Необхідний маховик для того, щоб забезпечити максимальну плавність обертання колінчастого вала, що позначається на плавності автомобільного ходу. Маховик гасить будь-які великі кутові прискорення під час розгону транспортного засобу, оскільки при його гальмуванні.

З формули вище для моменту інерції I1 зрозуміло, що для збільшення цієї величини вигідніше збільшити радіус, ніж масу циліндра (маховика). Так, подвоєння маси призведе лише до подвоєння моменту інерції. Однак якщо збільшити в два рази радіус, то I1 зросте аж у 4 рази, що забезпечить більш ефективне використання маховика.

Приклад розв’язання задачі

Перш ніж розв’язувати задачу, скажемо кілька слів про динаміку обертання. Як і в динаміці поступального руху, в ній існує формула, подібна до другого закону Ньютона. Ця формула називається рівнянням моментів. Записується вона так:

dL/dt = M.

Де L — момент імпульсу, M — момент зовнішніх сил. Найчастіше це рівняння записують у такому вигляді:

M = I*α.

Тут α — кутове прискорення. З цього виразу видно аналогія з другим ньютонівським законом.

Тепер перейдемо до вирішення завдання. Відомо, що сила 100 Н діє по дотичній до циліндричної поверхні перпендикулярно головній осі обертання суцільного циліндра на відстані 20 см. Маса циліндра дорівнює 10 кг, а його радіус становить 20 див. Необхідно визначити кутову швидкість ω циліндра через 5 секунд після початку дії сили.

Кутова швидкість розраховується за формулою равноускоренного руху:

ω = α*t.

Висловлюючи прискорення з рівняння моментів і підставляючи його у вираз, отримаємо:

ω = M*t/I.

Момент сили обчислюється так:

M = F*d.

Де за умовою задачі d = R. Підставляючи цей вираз і вираз для I суцільного циліндра, отримаємо кінцеву робочу формулу:

ω = 2*F*t/(m*R).

Залишилося сюди підставити всі величини в одиницях СІ і записати відповідь: ω = 500 рад/с, що дорівнює приблизно 80 оборотів в секунду.