Изохорная і ізобарна теплоємності повітря. Приклад завдання

Термодинаміка газів є спеціальним розділом фізики, який вивчає і досліджує поведінку газових систем при різних зовнішніх умовах. У цій статті розглянемо питання теплоємності повітря з використанням моделі ідеального газу.

Повітря — ідеальний газ

Перш ніж розкривати питання теплоємності повітря, розглянемо модель ідеального газу. Згідно з нею вважають, що система складається з невзаємодіючих один з одним частинок, які хаотично рухаються в обмеженому обсязі простору. Швидкості частинок підпорядковуються класичного розподілу Максвелла-Больцмана. Модель також передбачає, що частки є безрозмірними.

Наскільки точно в наведену модель вписується повітряна суміш? Відомо, що повітря складається в основному з молекул азоту і кисню. Ці молекули є хімічно нейтральними. Існуючі між ними ван-дер-ваальсовые взаємодії є дуже слабкими, тому при їх виконанні термодинамічних розрахунків можна не враховувати. Що стосується розмірів молекул, то ними можна знехтувати, так як відстані між ними на кілька порядків більше. Таким чином, повітря дуже добре описується моделлю ідеального газу.

Теплоємність та її види

Згідно фізичній визначенням, теплоємність — це величина, що показує, скільки потрібно на систему затратити теплоти, щоб її нагріти на 1 градус Цельсія або на 1 кельвін. Оскільки процеси нагрівання і охолодження є оборотними, то при охолодженні системи на 1 градус виділяється кількість теплоти, що дорівнює її теплоємності.

Як фізична величина теплоємність може бути абсолютною, або молярної масової. Визначення абсолютної теплоємності для довільної системи було дано вище. Молярної називається теплоємність на 1 моль газу, масової — на 1 кг газу. Молярна величина частіше використовується для розглянутого агрегатного стану матерії.

Залежно від ізопроцесів, при якому вимірюють теплоємність, вона буває изохорной і изобарной. У першому випадку в системі з газом не змінюється об’єм, у другому випадку зберігається тиск.

Формули изохорной і изобарной теплоємностей повітря

Спочатку розглянемо изохорную величину. Позначимо її CV. Перше початок термодинаміки, яке випливає з закону збереження енергії, для ізохорний процесу виглядає наступним чином:

H = dU

Тобто все тепло H, що підводиться до системи, йде на збільшення її внутрішньої енергії. Зміна величини U можна записати так:

dU = CV*dT

З іншого боку, якщо скористатися універсальним рівнянням стану ідеального газової системи, то формула для dU запишеться у вигляді:

dU = z/2*n*R*dT

Тут z — кількість ступенів свободи молекул, n — кількість речовини, R — постійна, dT — зміна температури. Вираз вище випливає з того факту, що внутрішня енергія ідеального газу в точності дорівнює кінетичної енергії його молекул.

З порівняння двох рівностей одержуємо формулу для изохорной теплоємності:

CV = z/2*n*R

У разі повітря z=5, оскільки він на 99 % складається з двоатомних молекул азоту і кисню (двохатомні молекули мають 3 поступальні і 2 обертальні ступені свободи). Вважаючи n=1 моль, приходимо до формули изохорной молярної теплоємності повітря:

CV = 5/2*R = 2,5*R

Нагадаємо, що постійна R дорівнює 8,314, тоді CV = 20,785 Дж/(моль*К).

Тепер визначимо молярную изобарную теплоємність повітря. Оскільки в результаті изобарного нагрівання газ розширюється, то він виконує певну роботу. Перше початок термодинаміки в цьому випадку приймає вигляд:

H = dU + P*dV

Ентальпія H через изобарную теплоємність CP для 1 моль речовини запишеться так:

H = CP*dT

Роботу газу з використанням рівняння Клапейрона-Менделєєва можна записати так:

P*dV = R*dT

Ці вирази дозволяють записати наступне співвідношення изобарной і изохорной теплоємностей:

CP = CV + R

Підставляючи величину CV для повітря, отримуємо изобарную молярную теплоємність для нього:

CP = 2,5*R + R = 3,5*R = 29,099 Дж/(моль*К)

Таким чином, величина CP виявляється більше, ніж CV.

Приклад розв’язання задачі

У циліндрі під поршнем знаходяться 3 моль повітря при атмосферному тиску. В процесі нагрівання циліндра поршень став підніматися, зберігаючи постійний тиск в системі. Чому дорівнює робота газу при розширенні, якщо відомо, що його кінцева температура стала більше початковій на 10 oC?

Скористаємося першим законом термодинаміки для изобарного нагрівання:

n*CP*dT = n*M*dT + P*dV

Звідси робота газу (третій доданок) виразиться так:

P*dV = n*(CP — CV)*dT

Підставляючи дані з умови задачі, а також значення молярних теплоємностей повітря, отримуємо відповідь: повітря в циліндрі, розширюючись, зробить роботу 249,42 Дж.