Як побудувати графік лінійної функції. Приклади

Для того, щоб розібратися, як побудувати графік лінійної функції, важливо зрозуміти саму суть функції. Функція — модель залежності зміни одного параметра від іншого.

Тема функціональних залежностей за традицією відкривається лінійною функціональною залежністю. Лінійна — це сама проста залежність. Графік лінійної функції — пряма.

Життя та функції

В житті лінійні залежності зазвичай зустрічаються в ідеальних штучних процесах, зміни в яких приймаються за постійні. Наприклад, коли людина їде кудись з постійною швидкістю.

Відстань, яку людина проїде на велосипеді, буде лінійно змінюватися в залежності від кількості годин, які він їде. Якщо 15 кілометрів він проїжджає за годину (точка А), то за дві години він проїде 30 кілометрів (точка В), через три години — 45 (точка С).

Залежність описується рівнянням y = 15x. Як побудувати графік лінійної функції в цьому випадку?

  • знайти координати точок, які є рішенням рівняння;
  • побудувати їх на координатній площині;
  • з’єднати ці точки в лінію.

Опис алгоритму

Пошук координат точок, які є рішенням рівняння зводиться до знаходження двох точок, які однозначно визначають пряму. Хоча досить вибрати два різних значення х і знайти відповідні їм значення y для самоперевірки можна знаходити три пари значень. Це дозволить швидко виявити можливу помилку в обчисленнях. Найчастіше перше значення х вибирають рівним нулю.

y = 15x (0, 0) (1, 15)
x = 0 x = 1
y = 15 × 0 y = 15 × 1
y = 0 y = 15

Друге значення х при великому k краще підбирати поруч з першим. Інакше вийде сильний розкид у значеннях y і x, наприклад, при x = 4 в розглянутому рівнянні y = 60. У кожному разі, до того, як побудувати графік лінійної функції за знайденими значеннями, підбирають масштаб.

у = 25 x (0, 0) (1, 25)
x = 0 x = 1
y = 25 × 0 y = 25 × 1
y = 0 y = 25

Коефіцієнт при х

Рівняння лінійної функції має вигляд y = kx + b. В залежності від зміни коефіцієнта при невідомій змінюється і характер графіка лінійної функції y = kx.

Чим більше по модулю коефіцієнт, тим більшою крутизною має пряма, тим сильніше за одне і те ж зміна значень х змінюються значення y. Коефіцієнт при х виступає коефіцієнтом пропорційності.

Вільний коефіцієнт

Вільний коефіцієнт — стала, яка не залежить від змін значення x. Він показує, де пряма перетинає OY.

Дивіться також:  Ієрихонські труби - значення фразеологізму

Наприклад, людина з ранку до 12 години дня пройшов 10 кілометрів, а потім три години їхав на велосипеді. Тоді відстань, яку він подолав за день: y = 15 × 3 + 10. Якщо ж ви хочете вивести формулу для підрахунку відстані в кінці кожної години з трьох, які він проїхав на велосипеді, можна скористатися: y = 15x + 10. В годину дня він проїхав 15 × 1 і ще пройшов 10, в дві години він проїхав 15 × 2, але пройшов всі ті ж 10.

Графік лінійної функції y = kx + b описує пряму, яка має кут нахилу k і перетинає OY у точці з координатами (0, b). Аналіз рівняння часто дозволяє вирішувати завдання, не будуючи графік. Але для того, щоб працювати в розумі, дії повинні бути добре закріплені на візуальному матеріалі.

Наприклад, завдання: знайти точки перетину y = – x2 і y = 0,5 x + 5. Перша функція щербатий, друга зростаюча, перша знаходиться нижче другої, т. к. гілки параболи спрямовані вниз, і її вершина знаходиться в початку координат. Лінійна функція повинна була б мати набагато більший кут нахилу, щоб бути більш крутий і перетнути одну з гілок параболи. Тому можна однозначно визначити, що точок перетину ні, не будуючи графік і не виробляючи підстановок.

Приватні випадки

  • Коли немає вільного коефіцієнта, він (насправді) дорівнює нулю, а отже, пряма перетинає OY в нулі.
  • Коли немає невідомої х чи y, y і x незалежні один від одного. Наприклад, y = 5. Незалежно від того, яке значення прийме х, y завжди буде дорівнювати 5. Графічно це можна представити у вигляді прямої лінії, паралельної OX.
  • Те ж саме справедливо для випадку, коли змінна x дорівнює числу: змінна х має постійне значення.
  • Завдяки аналізу рівняння ще до того, як побудувати графік лінійної функції, можна дізнатися її приблизне розташування на OY і кут нахилу, а значить, і крутизну. Це допомагає не тільки підібрати правильний масштаб і побудувати графік, але й вирішити деякі задачі в розумі.