Формули об’ємів трикутних призм різних видів

Будь-яке тверде тіло в тривимірному просторі має деяким обсягом. Обчисленням цієї характеристики геометричних фігур займається стереометрія. У цій статті розглянемо, що таке трикутна призма, і за якою формулою об’єм трикутної призми може бути розрахований.

Трикутна призма

Ця фігура відноситься до класу призм, тому вона, як будь-який представник цього класу, складається з двох однакових паралельних підстав і паралелограмів. Підставами є трикутники довільного типу (рівносторонні, рівнобедрені, прямокутні та інші), бічні сторони можуть бути довільними параллелограммами, ромбами, квадратами і прямокутниками. Число бічних сторін дорівнює трьом. Малюнок нижче демонструє, про який фігурі піде мова.

На цьому малюнку ми бачимо геометричну фігуру, яка складається з п’яти сторін, дев’яти ребер і шести вершин. Сторони ми вже охарактеризували. Що стосується ребер, то будь-яку з них можна віднести до одного з двох типів: або ребро належить одному з підстав (у цьому випадку воно є стороною трикутного підстави), або воно утворене перетинанням бічних граней (бічне ребро). Важливою властивістю призми є рівність всіх її бічних ребер.

Всі трикутні призми класифікуються за двома ознаками:

  • прямі і похилі;
  • правильні і неправильні.

Пряма призма має прямокутними бічними сторонами. Якщо її заснування будуть рівносторонніми трикутниками, тоді вона буде правильною. Далі ми наведемо формули об’єму призми трикутної прямий, правильної фігури, призми з прямокутним трикутником і фігури похилій.

Як розраховувати обсяг фігури довільного типу?

Частина простору, яка обмежена плоскими сторонами геометричної фігури, називається її обсягом. В загальному випадку для призми абсолютно будь-якого типу справедлива наступна формула для визначення її обсягу:

V = So × h

Як видно, вона дуже проста і містить всього два множника: So — площа однієї підстави, h — висота призми, тобто дистанція між її підставами.

Стосовно до трикутній призмі довільної форми (похилій і неправильної), для обчислення величини So можна скористатися універсальною формулою для трикутника:

So = 1 / 2 × ha × a

Тут a — сторона трикутника, ha — висота трикутника, опущена на бік a.

Розрахунок висоти h призми можна провести з використанням теореми Піфагора, якщо знати довжину бічного ребра b і двогранні кути між підставою і бічними гранями.

Формула обсягу правильної трикутної призми

Многогранник, який ми розглядаємо, буде правильним, якщо дві його грані є однаковими рівносторонніми трикутниками і три грані — це однакові прямокутники. Формулу для об’єму такої призми нескладно отримати з виразу загального виду, записаного в пункті вище. Щоб це зробити, розрахуємо спочатку площа підстави:

So = 1 / 2 × ha × a = 1 / 2 × √3 / 2 × a × a = √3 / 4 × a2

Значення висоти трикутника ha отримано, виходячи з того факту, що для рівностороннього заснування вона є також медіаною та бісектрисою. Таким чином, площа So є функцією тільки одного параметра (a).

Формулу обсягу для досліджуваної призми можна отримати, якщо помножити на висоту вище вираз:

V = √3 / 4 × a2 × h

Оскільки для даної фігури висота дорівнює довжині бічного ребра b, то отриманий вираз можна переписати через параметри a і b.

Обсяг прямої фігури з прямокутним трикутником на підставі

Прямокутний трикутник являє собою фігуру з трьох сторін, дві з яких перетинаються під прямим кутом. Ці сторони називаються катетами. Позначимо їх a1 і a2. Третя сторона називається гіпотенузою (a3). З планіметрії відомо кожному школяреві, що якщо взяти половину твору катетів, то можна отримати площу даного трикутника, тобто:

So = a1 × a2 / 2

Так як призма є прямою, досить помножити на So довжину її бічного ребра b, щоб отримати обсяг фігури:

V = a1 × a2 × b/2

Об’єм правильної фігури через значення її діагоналі

Трикутна призма є найпростішою фігурою зі свого класу, тому вона володіє лише одним єдиним типом діагоналі. Це діагоналі трьох її паралелограмів.

Припустимо, що є правильна фігура, діагональ якого дорівнює d (це діагональ прямокутника), а висота дорівнює h. Як розрахувати її обсяг?

Для початку слід визначити значення сторони підстави a. Для цього скористаємося теоремою Піфагора:

d2 = h2 + a2 =>

a = √(d2 — h2)

Тоді формула обсягу трикутної призми набуває вигляду:

V = √3 / 4 × a2 × h = √3 / 4 × (d2 — h2) × h

У разі правильної призми обсяг завжди є функцією двох параметрів (h і d в даному виразі).